Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=M_{2 \times 2} e W o conjunto das matrizes simétricas.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M_{2\times2} (todas as matrizes 2\times2) e o subconjunto
W = \{A\in M_{2\times2}\mid A^\mathsf{T}=A\},
isto é, W é o conjunto das matrizes simétricas. Queremos provar que W é um subespaço de V usando a definição de subespaço:
1. W\neq\varnothing (em particular 0\in W);
2. W é fechado sob adição;
3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos primeiro que W\neq\varnothing. A matriz nula
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}
satisfaz
0^\mathsf{T} = 0,
logo 0\in W. Dessa forma, W não é vazio.]

Passo 3

Agora verificamos a fechadura sob adição. Sejam A,B\in W. Então
A^\mathsf{T}=A \quad\text{e}\quad B^\mathsf{T}=B.
Considere A+B. Calculamos a transposta:
(A+B)^\mathsf{T} = A^\mathsf{T}+B^\mathsf{T} = A + B.
Portanto (A+B)^\mathsf{T} = A+B, ou seja, A+B\in W.

Passo 4

Finalmente, verificamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja A\in W e \lambda\in\mathbb{K} (o corpo base, por exemplo \mathbb{R}). Como A^\mathsf{T}=A, temos
(\lambda A)^\mathsf{T} = \lambda\,A^\mathsf{T} = \lambda\,A.
Logo \lambda A\in W.

Resposta

W satisfaz todas as condições de subespaço de V. Portanto, o conjunto das matrizes simétricas é um subespaço de M_{2\times2}.

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