Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
o conjunto das matrizes simétricas.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(todas as matrizes
) e o subconjunto
isto é,
é o conjunto das matrizes simétricas. Queremos provar que
é um subespaço de
usando a definição de subespaço:
.
(em particular
);
.
é fechado sob adição;
.
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos primeiro que
. A matriz nula
satisfaz
logo
. Dessa forma,
não é vazio.]
Passo 3
Agora verificamos a fechadura sob adição. Sejam
. Então
Considere
. Calculamos a transposta:
Portanto
, ou seja,
.
Passo 4
Finalmente, verificamos a fechadura sob multiplicação escalar. Seja
e
(o corpo base, por exemplo
). Como
, temos
Logo
.