Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4-y^42 x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0), mais precisamente, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis e queremos ver se ao aproximar a origem o quociente
x^4-y^42x^2+y^2
tem um valor único. Para isso vamos usar coordenadas polares, que ajudam a testar todos os caminhos de uma vez.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta e y=rsintheta, onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo no numerador e denominador:
x^4-y^4 = r^4(cos^4theta - sin^4theta),
2x^2+y^2 = r^2(2cos^2theta + sin^2theta)

Passo 3

Assim o quociente vira
x^4-y^42x^2+y^2 = r^4(cos^4theta - sin^4theta)r^2(2cos^2theta + sin^2theta) = r^2,cos^4theta - sin^4theta2cos^2theta + sin^2theta

Passo 4

Note que para todo theta o fator
cos^4theta - sin^4theta2cos^2theta + sin^2theta
é uma função limitada (não explode para nenhum theta). Como r^2to0 quando rto0, o produto r^2cdot(fator limitado) tende a zero independentemente de theta. Logo o limite existe e é zero.

Resposta

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