Calcule o volume do elipsoide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2 <= 1,10 m a, b, c >= 0 (usando integral tripla).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do elipsoide dado por x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1, usando integral tripla. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do jacobiano.

Passo 2

Para simplificar o domínio, fazemos a transformação linear
x = a,u, y = b,v, z = c,w
que envia o elipsoide para a bola unitária u^2+v^2+w^2<=1. O determinante do jacobiano dessa mudança é
|partial(x,y,z)partial(u,v,w)| = abc

Passo 3

O volume do elipsoide é
integral triplax^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1 dV = integral triplau^2+v^2+w^2<=1 abc,dU = abc integral triplau^2+v^2+w^2<=1 dU
Sabemos que o volume da bola unitária em R^3 é tfrac43pi.

Passo 4

Multiplicando pelo fator abc, concluímos que o volume do elipsoide é tfrac43pi,a,b,c.

Resposta

tfrac43pi a b c

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