Calcule o volume do elipsoide (usando integral tripla).
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do elipsoide dado por , usando integral tripla. O conteúdo principal é mudança de variáveis em integrais múltiplas e o uso do jacobiano.
Passo 2
Para simplificar o domínio, fazemos a transformação linear
que envia o elipsoide para a bola unitária . O determinante do jacobiano dessa mudança é
Passo 3
O volume do elipsoide é
integral triplax^2a^2+y^2b^2+z^2c^2<=1 dV = integral triplau^2+v^2+w^2<=1 abc,dU = abc integral triplau^2+v^2+w^2<=1 dU
Sabemos que o volume da bola unitária em R^3 é tfrac43pi.
Passo 4
Multiplicando pelo fator abc, concluímos que o volume do elipsoide é tfrac43pi,a,b,c.