Utilize coordenadas esféricas
l x=rho cos (theta) sin (varphi) y=rho sin (theta) sin (varphi) z=rho cos (phi)
para calcular o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x y zx^2+y^2+z^2.

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite de f(x,y,z)=xyzx^2+y^2+z^2 quando (x,y,z)to(0,0,0), usando coordenadas esféricas. Vamos precisar das fórmulas de conversão de (x,y,z) para (rho,theta,varphi).

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x=rhocos(theta)sin(varphi),
y=rhosin(theta)sin(varphi),
z=rhocos(varphi)
Substituindo em f(x,y,z), o numerador fica

e o denominador é

Passo 3

Dividindo numerador por denominador obtemos
f(rho,theta,varphi)=rho^3cos(theta)sin(theta)sin^2(varphi)cos(varphi)rho^2 =rho,l[cos(theta)sin(theta)sin^2(varphi)cos(varphi)r]

Passo 4

Agora note que a parte angular cos(theta)sin(theta)sin^2(varphi)cos(varphi) é limitada em valor absoluto por 1, pois cada fator está em [-1,1]. Logo
rhoto0^+
À medida que |f|to0, temos . Portanto o limite é 0.

Resposta

0

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