para calcular o limite lim (x, y, z) (0,0,0) x y zx^2+y^2+z^2.
Passo 1
O exercício pede para calcular o limite de f(x,y,z)=xyzx^2+y^2+z^2 quando (x,y,z)to(0,0,0), usando coordenadas esféricas. Vamos precisar das fórmulas de conversão de (x,y,z) para (rho,theta,varphi).
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos
x=rhocos(theta)sin(varphi),
y=rhosin(theta)sin(varphi),
z=rhocos(varphi)
Substituindo em f(x,y,z), o numerador fica
e o denominador é
Agora note que a parte angular cos(theta)sin(theta)sin^2(varphi)cos(varphi) é limitada em valor absoluto por 1, pois cada fator está em [-1,1]. Logo rhoto0^+
À medida que |f|to0, temos . Portanto o limite é 0.