Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache
; (b) ache
; (c) mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas com a função
:
- (a) achar
(segunda derivada parcial em relação a duas vezes); - (b) achar
(segunda derivada parcial em relação a duas vezes); - (c) mostrar que
(os dois mistas são iguais).
Informações dadas: a própria expressão de
. Não há restrições adicionais.
Passo 2
O que é derivada parcial?
Quando derivamos parcialmente em relação a , tratamos
como constante; quando derivamos em relação a
, tratamos
como constante. As regras usuais de diferenciação (regra da potência, produto etc.) valem, mas aplicadas mantendo a outra variável fixa.
Quando derivamos parcialmente em relação a
Regras úteis que vamos usar:
- Regra da potência:
. - Se
é constante ao derivar em , então e (porque é apenas uma constante multiplicando ). - Analogamente para derivar em
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
Derivamos termo a termo, tratando
como constante:
-
-
(usei que é constante) -
Somando:
Passo 4
Agora a segunda parcial
.
Derivando
em relação a
(novamente
é constante):
-
-
(porque é constante multiplicando ). -
(já que não depende de ).
Logo,
Passo 5
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
Derivando termo a termo, tratando
como constante:
-
(não depende de ). -
(a derivada de é , e é constante). -
Somando:
Passo 6
Agora a segunda parcial
.
Derivando
em relação a
(com
constante):
Portanto
Passo 7
Calcular os derivados mistos e comparar.
Primeiro
. Temos
. Derivando em
:
Logo
Agora
. Temos
. Derivando em
:
Logo
Portanto
.
Observação teórica curta:
é polinomial, logo todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas; pelo teorema de Clairaut (ou igualdade dos mistos para funções
) os derivados mistos coincidem — aqui a conta confirma isso.