Nos Exercicios de 1 a 10 (a) ache D_{11} f(x, y); (b) ache D_{22} f(x, y); (c) mostre que D_{12} f(x, y)=D_{21} f(x, y).
f(x, y)=2 x^{3}-3 x^{2} y+x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas com a função f(x,y)=2x^{3}-3x^{2}y+xy^{2}:
  • (a) achar D_{11}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a x duas vezes);
  • (b) achar D_{22}f(x,y) (segunda derivada parcial em relação a y duas vezes);
  • (c) mostrar que D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y) (os dois mistas são iguais).
Informações dadas: a própria expressão de f(x,y). Não há restrições adicionais.

Passo 2

O que é derivada parcial?
Quando derivamos parcialmente em relação a x, tratamos y como constante; quando derivamos em relação a y, tratamos x como constante. As regras usuais de diferenciação (regra da potência, produto etc.) valem, mas aplicadas mantendo a outra variável fixa.
Regras úteis que vamos usar:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Se y é constante ao derivar em x, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y)=0 e \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=y^{2} (porque y^{2} é apenas uma constante multiplicando x).
  • Analogamente para derivar em y.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x: D_{1}f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}.
Derivamos termo a termo, tratando y como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{3}) = 2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-3x^{2}y) = -3y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2}) = -3y\cdot 2x = -6xy. (usei que y é constante)
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x y^{2}) = y^{2}\cdot \dfrac{d}{dx}(x) = y^{2}.
Somando:
D_{1}f(x,y)=6x^{2}-6xy+y^{2}.

Passo 4

Agora a segunda parcial D_{11}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(D_{1}f(x,y)\bigr).
Derivando D_{1}f(x,y)=6x^{2}-6xy+y^{2} em relação a x (novamente y é constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(6x^{2})=12x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-6xy)=-6y (porque -6y é constante multiplicando x).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 (já que y^{2} não depende de x).
Logo,
D_{11}f(x,y)=12x-6y.

Passo 5

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y: D_{2}f(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial y}.
Derivando termo a termo, tratando x como constante:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2x^{3})=0 (não depende de y).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-3x^{2}y)=-3x^{2} (a derivada de y é 1, e -3x^{2} é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=x\cdot 2y = 2xy.
Somando:
D_{2}f(x,y)=-3x^{2}+2xy.

Passo 6

Agora a segunda parcial D_{22}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(D_{2}f(x,y)\bigr).
Derivando D_{2}f(x,y)=-3x^{2}+2xy em relação a y (com x constante):
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-3x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
Portanto
D_{22}f(x,y)=2x.

Passo 7

Calcular os derivados mistos e comparar.
Primeiro D_{12}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(D_{1}f(x,y)\bigr). Temos D_{1}f(x,y)=6x^{2}-6xy+y^{2}. Derivando em y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(6x^{2})=0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-6xy)=-6x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Logo
D_{12}f(x,y)=-6x+2y.
Agora D_{21}f(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(D_{2}f(x,y)\bigr). Temos D_{2}f(x,y)=-3x^{2}+2xy. Derivando em x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-3x^{2})=-6x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y.
Logo
D_{21}f(x,y)=-6x+2y.
Portanto D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=-6x+2y.
Observação teórica curta: f é polinomial, logo todas as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas; pelo teorema de Clairaut (ou igualdade dos mistos para funções C^{2}) os derivados mistos coincidem — aqui a conta confirma isso.

Resposta

D_{11}f(x,y)=12x-6y
D_{22}f(x,y)=2x
D_{12}f(x,y)=D_{21}f(x,y)=-6x+2y

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