Nos Exercicios 9 e 10, ache os quatro primeiros elementos da sequiència de somas parciais [sn] e encontre uma fórmula para sn em termos de n. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty ln (2 n-12 n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais da série . Além disso, precisamos achar uma fórmula geral para em função de e determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais, além de propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial é a soma dos primeiros termos de uma série. No nosso caso, cada termo da série é . Então, para encontrar , vamos somar esses termos de até .

Passo 3

Vamos calcular os quatro primeiros termos das somas parciais:
  • Para s1 = ln(2(1)-12(1)+1) = ln(13) = -ln 3 :
    s2 = s1 + ln(2(2)-12(2)+1) = -ln 3 + ln(35) = -ln 5
  • Para s3 = s2 + ln(2(3)-12(3)+1) = -ln 5 + ln(57) = -ln 7 :
    s4 = s3 + ln(2(4)-12(4)+1) = -ln 7 + ln(79) = -ln 9
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Observamos um padrão interessante aqui: cada soma parcial resulta em de um número ímpar. Especificamente, . Isso acontece porque a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.

Passo 5

Agora, temos que encontrar uma fórmula geral para sn = -ln(2n + 1) . Pelo que vimos, a fórmula é:
Isso nos permite calcular para qualquer valor de sem precisar somar todos os termos anteriores.

Passo 6

Para determinar se a série infinita converge ou diverge, vamos analisar o limite de limn to infty sn = limn to infty -ln(2n + 1) = -infty quando tende ao infinito:
Como o limite tende a menos infinito, a série não converge para um valor finito; ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge; não possui soma finita.

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