Nos Exercicios 9 e 10, ache os quatro primeiros elementos da sequiència de somas parciais
e encontre uma fórmula para
em termos de
. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os quatro primeiros termos da sequência das somas parciais
da série
. Além disso, precisamos achar uma fórmula geral para
em função de
e determinar se a série infinita converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries e somas parciais, além de propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. A soma parcial
é a soma dos primeiros
termos de uma série. No nosso caso, cada termo da série é
. Então, para encontrar
, vamos somar esses termos de
até
.
Passo 3
Vamos calcular os quatro primeiros termos das somas parciais:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Observamos um padrão interessante aqui: cada soma parcial
resulta em
de um número ímpar. Especificamente,
. Isso acontece porque a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos.
Passo 5
Agora, temos que encontrar uma fórmula geral para
. Pelo que vimos, a fórmula é:
Isso nos permite calcular
para qualquer valor de
sem precisar somar todos os termos anteriores.
Passo 6
Para determinar se a série infinita converge ou diverge, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite tende a menos infinito, a série não converge para um valor finito; ou seja, ela diverge.
Resposta
A série diverge; não possui soma finita.