Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral raiz2 d t3 t^3+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz2,dt3t^3+3 e depois derivar o resultado para conferir. O conteúdo usado é integral de função racional, que vamos resolver por fatoração e frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e extraímos constantes:
raiz23t^3+3=raiz23(t^3+1)=raiz23;1t^3+1

Passo 3

Agora decompomos 1/(t^3+1) em frações parciais. Como t^3+1=(t+1)(t^2-t+1), buscamos
1t^3+1=At+1+Bt+Ct^2-t+1

Passo 4

Resolvendo para A,B,C obtemos A=1/3, B=-1/3, C=2/3. Logo
1t^3+1=1/3t+1+-tfrac13 t + tfrac23t^2-t+1

Passo 5

Integramos cada parte:
  • integral1/3t+1dt=tfrac13ln|t+1|.
  • Para integral-tfrac13t+tfrac23t^2-t+1dt separamos em
-tfrac16ln(t^2-t+1)+tfracraiz31,arctanl(2t-1raiz3r)
(obtido completando o quadrado e usando que integral2t-1t^2-t+1dt=ln(t^2-t+1) e integraldt(t-tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2=tfrac2raiz3arctan(tfrac2t-1raiz3)).

Passo 6

Somando as integrais e multiplicando raiz2/3, chegamos a
raiz29ln|t+1| - raiz218ln(t^2-t+1) + raiz69arctanl(2t-1raiz3r) + C

Passo 7

Por fim, derivamos essa expressão e confirmamos que retorna raiz2/(3t^3+3), validando o resultado.

Resposta

raiz29ln|t+1| - raiz218ln(t^2-t+1) + raiz69arctanl(2t-1raiz3r) + C

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