Resolva as seguintes equações homogêneas:
x^2 y^prime-x^2-3 x y-y^2=0

Passo 1

A equação dada é x^2y' - x^2 - 3xy - y^2 = 0. Esse é um problema de equação diferencial de primeira ordem do tipo homogênea, pois podemos reescrever y' como função de y/x. Vamos usar a substituição y = ux para resolver.

Passo 2

Primeiro, isolamos y':
y' = x^2 + 3xy + y^2x^2 = 1 + 3yx + l(yxr)^2

Passo 3

Fazendo a troca y = ux, temos y' = u + x,du/dx. Substituindo na expressão acima:
u + xdudx = 1 + 3u + u^2
Isolando du/dx:
xdudx = 1 + 3u + u^2 - u = (u+1)^2

Passo 4

Agora separa variáveis:
du(u+1)^2 = dxx
Integramos ambos os lados:
integral du(u+1)^2 = integral dxx Longrightarrow -1u+1 = ln|x| + C

Passo 5

Voltando a u = y/x, reescrevemos a constante para obter uma forma implícita mais limpa:
1u+1 = C - ln|x|,
ou seja
1yx+1 = C - ln|x| Longrightarrow xx+y + ln|x| = C

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por \n$ xx+y + ln|x| = C

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