Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral raiz4x^4-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raiz4x^4-x^2,dx e depois derivar o resultado para conferir. O assunto principal é integração de funções com raízes de polinômios, e vamos usar manipulação algébrica e substituição trigonométrica.

Passo 2

Reescrevendo o integrando:
raiz4x^4-x^2=2raizx^4-x^2=2raizx^2(x^2-1)=2|x|raizx^2-1

Passo 3

Para simplificar a convergência do raciocínio, assumimos x>1 (então |x|=x), de modo que
raiz4x^4-x^2=2xraizx^2-1

Passo 4

Agora fazemos a substituição trigonométrica típica para raizx^2-1: definimos x=sectheta. Então
dx=sectheta,tantheta,dtheta,raizx^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 2xraizx^2-1,dx=integral 2sectheta,tanthetal(sectheta,tantheta,dthetar)=integral 2,dtheta=2theta+C

Passo 6

Como , obtemos

Passo 7

Para conferir, derivamos:

Passo 8

Em x>1, isso é exatamente 2/(xraizx^2-1), que coincide com o integrando simplificado. Portanto está correto.

Resposta

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