Ex. 4. Resolver os seguintes sistemas de equaçōes diferenciais ordinárias e calcule , onde é sucessivamente dado por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) do tipo dotx = A x, onde A é a matriz dada:
A = 1 & 0 & 3 8 & 1 & -1 5 & 1 & -1
O conteúdo que vamos usar aqui envolve matrizes, sistemas lineares e exponenciais de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular a exponencial da matriz A, denotada por e^A t, que nos dará a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de dotx = A x pode ser escrita como:
x(t) = e^A t x(0)
Onde e^A t é a exponencial da matriz A multiplicada pelo tempo t. Para calcular e^A t, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, pois isso facilita bastante o cálculo da exponencial.
Passo 3
Vamos começar encontrando os autovalores de A. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Agora, precisamos resolver essa equação cúbica para encontrar os autovalores. Tentamos valores que sejam divisores do termo constante (9), como lambda = 1, -1, 3, -3, etc.
Com os autovalores em mãos, agora precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda. Isso envolve resolver (A - lambda I)v = 0 para cada lambda.
Novamente, resolvemos (A - lambda3 I)v = 0, parametrizando uma das variáveis e resolvendo para as demais. Obtém-se o autovetor correspondente a lambda3.
Passo 10
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a matriz A na forma diagonalizada:
A = P Lambda P^-1
Onde Lambda é a matriz diagonal com os autovalores e P é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Passo 11
A exponencial de A t é então dada por:
e^A t = P e^Lambda t P^-1
E como Lambda é diagonal, e^Lambda t é simplesmente uma matriz diagonal com as exponenciais dos autovalores:
e^Lambda t = e^lambda1 t & 0 & 0 0 & e^lambda2 t & 0 0 & 0 & e^lambda3 t
Resposta
A exponencial da matriz A t é dada por e^A t = P e^Lambda t P^-1, onde P é a matriz dos autovetores de A e Lambda é a matriz diagonal com os autovalores -3, 2 + raiz7 e 2 - raiz7. Assim, a solução geral do sistema é x(t) = e^A t x(0).