Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral x^2+1x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de x^2+1x^2 em relação a x, e depois derivar a resposta para conferir se está correta. Estamos trabalhando com cálculo, especificamente com integração e diferenciação. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão antes de integrar e, em seguida, verificar nossa resposta derivando-a.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão x^2+1x^2. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:
x^2x^2 + 1x^2 = 1 + 1x^2
Isso torna a integral mais fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de 1 + 1x^2 em relação a x:
integral (1 + 1x^2) dx = integral 1 , dx + integral 1x^2 , dx
Integrando cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x + C
integral 1x^2 , dx = integral x^-2 , dx = -x^-1 + C = -1x + C
Juntando os resultados:
integral (1 + 1x^2) dx = x - 1x + C

Passo 4

Para conferir se a nossa resposta está correta, vamos derivar x - 1x + C em relação a x:
ddx(x - 1x + C) = ddx(x) - ddx(1x) + ddx(C)
Calculando cada derivada:
ddx(x) = 1
ddx(1x) = -1x^2
ddx(C) = 0
Então:
1 - (-1x^2) + 0 = 1 + 1x^2
Isso confirma que a derivada da nossa integral é igual à expressão original, verificando que a solução está correta.

Resposta

A integral de x^2+1x^2 em relação a x é:
x - 1x + C

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