Ex. 4. Resolver os seguintes sistemas de equaçōes diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias que envolve matrizes. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares e exponenciais de matrizes. Para resolver, a gente vai precisar calcular os autovalores e autovetores da matriz $ A $, diagonalizar $ A $ se possível, e então usar essas informações para encontrar $ e^{At} $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos:
dotx = A x
onde
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6
Queremos encontrar a solução dessa equação e calcular $ e^{A t} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz $ A $. Para isso, resolvemos a equação característica:
A
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = 0
Expandindo o determinante, obtemos a equação característica:
det -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 -6 & -11 & -6 - lambda = 0
Fatorando, temos:
lambda^3 + 6lambda^2 + 11lambda + 6 = 0
Portanto, os autovalores são:
(lambda + 1)(lambda + 2)(lambda + 3) = 0

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para $ \lambda_1 = -1 $:
Resolvemos $ (A + I)v = 0 $:
lambda1 = -1
Resolvendo, encontramos o autovetor $ v^{(1)} = (A + I)v = 0 $.
Para $ \lambda_2 = -2 $:
Resolvemos $ (A + 2I)v = 0 $:
1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 -6 & -11 & -5 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos o autovetor $ v^{(2)} = v^(1) = 1 -1 1 $.
Para $ \lambda_3 = -3 $:
Resolvemos $ (A + 3I)v = 0 $:
lambda2 = -2
Resolvendo, encontramos o autovetor $ v^{(3)} = (A + 2I)v = 0 $.

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos diagonalizar a matriz $ A $. Montamos a matriz $ P $ com os autovetores como colunas:
A
A matriz diagonal $ D $ será:
P
E a inversa de $ P $, $ P^{-1} $, pode ser calculada utilizando métodos de matrizes invertíveis.

Passo 6

Agora, podemos calcular $ e^{At} $ usando a relação:
e^At
Onde $ e^{Dt} $ é simplesmente a matriz diagonal com os expoentes dos autovalores:
e^At = P e^Dt P^-1
Multiplicando essas matrizes, obtemos $ e^{At} $.

Resposta

Após os cálculos, a matriz exponencial $ e^{At} $ é dada por:
e^At
Onde:
e^At = P e^-t & 0 & 0 0 & e^-2t & 0 0 & 0 & e^-3t P^-1 é

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