Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral(e^t-raiz[4]16 t+3t^3) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ e^{t} - \sqrt[4]{16 t} + \frac{3}{t^{3}} $ em relação a $ t $ e depois derivar o resultado para conferir se tá certinho. Vamos usar conceitos de cálculo integral, como a regra do poder, integrais de funções exponenciais e manipulação de frações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quarta de $ 16t $ pode ser reescrita como $ (16t)^{1/4} $. Sabendo que $ 16^{1/4} = 2 $ (porque $ 2^4 = 16 $), temos:
16t
Então, a integral fica:
(16t)^1/4

Passo 3

Vamos separar essa integral em partes para facilitar a resolução. Ou seja:
integral e^t dt - integral 2 t^1/4 dt + integral 3t^3 dt

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Começando por $ e^{t} $:
e^t
A função $ e^{t} $ é especial porque sua integral é igual a ela mesma.

Passo 5

Passando para $ -2 t^{1/4} $:
Aqui usamos a regra do poder para integração, que diz que:
-2 t^1/4
Aplicando isso:
integral t^n dt = t^n+1n+1 + C

Passo 6

Agora, vamos integrar $ \frac{3}{t^{3}} $. Primeiro, reescrevemos como:
3t^3
Usando a regra do poder novamente:
3t^3 = 3 t^-3

Passo 7

Juntando todas as partes integradas, temos:
integral ( e^t - 2 t^1/4 + 3t^3 ) dt = e^t - 85 t^5/4 - 32 t^2 + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Para conferir se a integral está correta, vamos derivar o resultado obtido:
Derivada de $ e^{t} $:
e^t
Derivada de $ -\frac{8}{5} t^{5/4} $:
ddt ( e^t ) = e^t
Derivada de $ -\frac{3}{2 t^{2}} $:
-85 t^5/4
Somando todas as derivadas:
ddt ( -85 t^5/4 ) = -85 cdot 54 t^1/4 = -2 t^1/4
Que é exatamente a função original dentro da integral, confirmando que nossa integração está correta.

Resposta

integral ( e^t - raiz[4]16 t + 3t^3 ) dt = e^t - 85 t^5/4 - 32 t^2 + C

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