Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de $ e^{t} - \sqrt[4]{16 t} + \frac{3}{t^{3}} $ em relação a $ t $ e depois derivar o resultado para conferir se tá certinho. Vamos usar conceitos de cálculo integral, como a regra do poder, integrais de funções exponenciais e manipulação de frações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A raiz quarta de $ 16t $ pode ser reescrita como $ (16t)^{1/4} $. Sabendo que $ 16^{1/4} = 2 $ (porque $ 2^4 = 16 $), temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos separar essa integral em partes para facilitar a resolução. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo individualmente. Começando por $ e^{t} $:
A função $ e^{t} $ é especial porque sua integral é igual a ela mesma.
Passo 5
Passando para $ -2 t^{1/4} $:
Aqui usamos a regra do poder para integração, que diz que:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ \frac{3}{t^{3}} $. Primeiro, reescrevemos como:
Usando a regra do poder novamente:
Passo 7
Juntando todas as partes integradas, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Para conferir se a integral está correta, vamos derivar o resultado obtido:
Derivada de $ e^{t} $:
Derivada de $ -\frac{8}{5} t^{5/4} $:
Derivada de $ -\frac{3}{2 t^{2}} $:
Somando todas as derivadas:
Que é exatamente a função original dentro da integral, confirmando que nossa integração está correta.