Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.
integral x^2-1x^2+1 d x

Passo 1

Enunciado: Calcular a integral integral x^2-1x^2+1,dx e depois derivar para conferir o resultado. O conteúdo envolve técnicas de divisão de polinômio e integrais padrão de funções racionais e trigonométricas (arctan). Vamos reescrever o integrando e usar integral1x^2+1,dx=arctan(x).

Passo 2

Reescrevemos o numerador separando um termo que coincide com o denominador:
x^2 - 1x^2 + 1 = (x^2 + 1) - 2x^2 + 1 = 1 - 2x^2 + 1
Assim, a integral vira
integralx^2 - 1x^2 + 1,dx = integral 1,dx - 2integral1x^2+1,dx

Passo 3

Integramos cada termo separadamente. A integral de 1 é x e a de 1/(x^2+1) é arctan(x). Logo:
integralx^2 - 1x^2 + 1,dx = x - 2arctan(x) + C

Passo 4

Para conferir, derivamos x - 2arctan(x) + C. Usando ddxx=1 e ddxarctan(x)=11+x^2, temos:
ddxl(x - 2arctan(x)r) = 1 - 2cdot11+x^2 = x^2+1 - 2x^2+1 = x^2 - 1x^2 + 1,
que confere com o integrando original.

Resposta

x - 2arctan(x) + C

Exercícios relacionados