Analise sobre a convergência ou divergência da série .
Passo 1
Então, temos uma série infinita que começa em $ n = 2 $ e vai até o infinito: . Vamos analisar se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos. A série é composta por termos que têm a forma . O numerador tem uma base negativa elevada a uma potência que depende de $ n $, e o denominador tem o logaritmo natural de $ n $ também elevado a $ n $. Nosso objetivo é descobrir se, somando esses termos até o infinito, a série tem um valor finito ou não.
Passo 3
Para analisar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Raiz, que é muito útil quando os termos da série têm potências de $ n $. O Teste da Raiz diz que, se :
Se $ L < 1 $, a série converge.
Se $ L > 1 $, a série diverge.
Se $ L = 1 $, o teste é inconclusivo.
Aqui, $ a_n $ é o termo geral da série, que no nosso caso é .
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série. Primeiro, vamos considerar o valor absoluto do termo geral:
Agora, aplicamos a raiz $ n $-ésima:
n
Simplificando, temos:
raiz[n]|an| = raiz[n]5^n+1(ln n)^n = 5^(n+1)/nln n
Sabemos que, conforme $ n $ vai para o infinito, $ 5^{\frac{1}{n}} $ tende a 1. Então, o limite fica:
5^1 + 1nln n = 5 cdot 5^1nln n
Como $ \ln n $ cresce sem limite quando $ n $ vai para o infinito, o limite da expressão acima é zero:
n
Passo 5
Agora, comparando o resultado com o Teste da Raiz:
L = 0 < 1
Como o limite $ L $ é menor que 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série converge.