Nos Exercícios 7-10:
- Determine o gradiente de
.
- Calcule o gradiente no ponto
.
- Determine a taxa de variação de
em
na direção do vetor u.
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Determine o gradiente de
. - Calcule o gradiente no ponto
. - Determine a taxa de variação de
em na direção do vetor .
As informações dadas são:
Passo 2
O que é o gradiente e como ele é usado aqui (explicação didática):
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável. Ou seja,
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor unitário é o produto escalar do gradiente em com :
- Observação importante: a fórmula acima exige que
seja unitário. Se não for, primeiro normalizamos . Vou checar isso no próximo passo.
Passo 3
Verificar se
é unitário (passo a passo):
Calculo a norma :
Calculo a norma
Como
,
já é unitário e posso usar diretamente
.
Passo 4
Calcular
com explicação:
- Aqui
. Quando derivamos em relação a , tratamos como constantes. - A função é produto de
por , mas não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Assim:
(mais formalmente:
quando
não depende de
).
Passo 5
Calcular
com explicação (uso da regra da cadeia):
- Agora
é tratado como constante e precisamos derivar em relação a . - Regra da cadeia: se temos
, a derivada é . - Aqui
. Como é constante ao derivar em relação a , temos . - Multiplicando pelo fator
que está fora do expoente:
Passo 6
Calcular
com explicação (também regra da cadeia):
- Similar ao caso anterior: derivamos
em relação a , tratando como constantes. - Para
temos . - Logo:
Passo 7
Juntar as componentes para escrever o gradiente (forma final simbólica):
Isso responde a primeira pergunta (gradiente geral).
Passo 8
Avaliar o gradiente no ponto
passo a passo:
- Primeiro calcular o expoente:
, logo . - Avaliando cada componente:
Portanto
Passo 9
Calcular a taxa de variação de
em
na direção de
(produto escalar):
- Usamos
. - Fazendo o produto escalar componente a componente:
- Calculemos os termos:
- Somando:
Assim, a derivada direcional é
. Isso significa que, no ponto
, movendo-se infinitesimalmente na direção de
, a função
diminui com taxa
(sinal negativo indica diminuição).