Nos Exercícios 7-10:
  • Determine o gradiente de f.
  • Calcule o gradiente no ponto P.
  • Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
    f(x, y, z)=x e^{2 y z}, \quad P(3,0,2), \quad \mathbf{u}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Determine o gradiente de f.
  2. Calcule o gradiente no ponto P.
  3. Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u}.
As informações dadas são:
f(x,y,z)=x e^{2 y z},
P(3,0,2),
\mathbf{u}=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right).

Passo 2

O que é o gradiente e como ele é usado aqui (explicação didática):
  • O gradiente de uma função f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ou seja,
\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar do gradiente em P com \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
  • Observação importante: a fórmula acima exige que \mathbf{u} seja unitário. Se não for, primeiro normalizamos \mathbf{u}. Vou checar isso no próximo passo.

Passo 3

Verificar se \mathbf{u} é unitário (passo a passo):
Calculo a norma \|\mathbf{u}\|:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2} =\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}} =\sqrt{\frac{9}{9}} =\sqrt{1}=1.
Como \|\mathbf{u}\|=1, \mathbf{u} já é unitário e posso usar diretamente D_{\mathbf{u}} f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} com explicação:
  • Aqui f(x,y,z)=x\cdot e^{2 y z}. Quando derivamos em relação a x, tratamos y,z como constantes.
  • A função é produto de x por e^{2 y z}, mas e^{2 y z} não depende de x, então sua derivada em relação a x é zero. Assim:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{2 y z}.
(mais formalmente: \frac{\partial}{\partial x}(x\cdot g(y,z))=1\cdot g(y,z) quando g não depende de x).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} com explicação (uso da regra da cadeia):
  • Agora x é tratado como constante e precisamos derivar e^{2 y z} em relação a y.
  • Regra da cadeia: se temos e^{h(y)}, a derivada é e^{h(y)}\cdot h'(y).
  • Aqui h(y)=2 y z. Como z é constante ao derivar em relação a y, temos h'(y)=2 z.
  • Multiplicando pelo fator x que está fora do expoente:
\frac{\partial f}{\partial y}=x\cdot e^{2 y z}\cdot (2 z)=2 x z e^{2 y z}.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z} com explicação (também regra da cadeia):
  • Similar ao caso anterior: derivamos e^{2 y z} em relação a z, tratando x,y como constantes.
  • Para h(z)=2 y z temos h'(z)=2 y.
  • Logo:
\frac{\partial f}{\partial z}=x\cdot e^{2 y z}\cdot (2 y)=2 x y e^{2 y z}.

Passo 7

Juntar as componentes para escrever o gradiente (forma final simbólica):
\nabla f(x,y,z)=\left(e^{2 y z},\;2 x z e^{2 y z},\;2 x y e^{2 y z}\right).
Isso responde a primeira pergunta (gradiente geral).

Passo 8

Avaliar o gradiente no ponto P(3,0,2) passo a passo:
  • Primeiro calcular o expoente: 2 y z = 2\cdot 0 \cdot 2 = 0, logo e^{2 y z}=e^0=1.
  • Avaliando cada componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=e^{0}=1,
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=2\cdot x\cdot z\cdot e^{0}=2\cdot 3\cdot 2\cdot 1=12,
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=2\cdot x\cdot y\cdot e^{0}=2\cdot 3\cdot 0\cdot 1=0.
Portanto
\nabla f(P)=(1,12,0).

Passo 9

Calcular a taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} (produto escalar):
  • Usamos D_{\mathbf{u}} f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u}.
  • Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}} f(P)=(1,12,0)\cdot\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right) =1\cdot\frac{2}{3}+12\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)+0\cdot\frac{1}{3}.
  • Calculemos os termos:
1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3},\qquad 12\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{24}{3}=-8.
  • Somando:
D_{\mathbf{u}} f(P)=\frac{2}{3}-8=\frac{2}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{22}{3}.
Assim, a derivada direcional é -\dfrac{22}{3}. Isso significa que, no ponto P, movendo-se infinitesimalmente na direção de \mathbf{u}, a função f diminui com taxa \dfrac{22}{3} (sinal negativo indica diminuição).

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(e^{2 y z},\;2 x z e^{2 y z},\;2 x y e^{2 y z}\right)\n
\nabla f(3,0,2)=(1,12,0)\n
D_{\mathbf{u}} f(3,0,2)=-\dfrac{22}{3}

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