A curva
\mathbf{R}(t)=(t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t) é chamado de tractriz.
(a) Prove que
s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\'}(u)\right\| d u é igual a
s(t)=\ln (\operatorname{cosh} t) .
(b) Prove que
t=g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) é uma inversa de
s(t) e comprove que:
\mathbf{R}_{1}(s)=\left(\operatorname{tanh} ^{-1}\left(\sqrt{1-e^{-2 s}}\right)-\sqrt{1-e^{-2 s}}, e^{-s}\right)
é uma parametrização por cumprimento de arco, da tractriz.
Solução (a). O vetor velocidade é:
\mathbf{R}^{\'}(t)=\left(1-\operatorname{sech}^{2} t,-\operatorname{sech} t \operatorname{tanh} t\right)
logo a rapidez
\left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| é
\begin{aligned} \left\|\mathbf{R}^{\'}(t)\right\| & =\sqrt{\left(1-\operatorname{sech}^{2} t\right)^{2}+(-\operatorname{sech} t \operatorname{tanh} t)^{2}} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{4} t+\operatorname{sech}^{2} t \operatorname{tanh} ^{2} t} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{2} t\left(\operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{tanh} ^{2} t\right)} \\\ & =\sqrt{1-2 \operatorname{sech}^{2} t+\operatorname{sech}^{2} t}=\sqrt{1-\operatorname{sech}^{2} t}=\sqrt{1-\frac{1}{\operatorname{cosh} ^{2} t}} \\\ & =\sqrt{\frac{\operatorname{cosh} ^{2} t-1}{\operatorname{cosh} ^{2} t}}=\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}=\operatorname{tanh} t \end{aligned}
A função comprimento de
\operatorname{arco} s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{R}^{\'}(u)\right\| d u é:
\begin{aligned} s(t) & =\int_{0}^{t} \frac{\operatorname{sinh} u}{\operatorname{cosh} u} d u=\int_{0}^{t} \frac{d(\operatorname{cosh} u)}{\operatorname{cosh} u}=\left.\ln (\operatorname{cosh} u)\right|_{0} ^{t} \\\ & =\ln (\operatorname{cosh} t)-\ln (\operatorname{cosh} 0)=\ln (\operatorname{cosh} t)-\ln (1) \\\ \mathbf{s}(\mathbf{t}) & =\ln (\operatorname{cosh} t) \end{aligned}
Soluçao (b). Calculamos a função inversa de
s=\ln (\operatorname{cosh} t) :
\begin{aligned} e^{s} & =\operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2}=\frac{1}{2}\left(e^{t}+\frac{1}{e^{t}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{2 t}+1}{e^{t}}\right) \\\ \Rightarrow 2 e^{s} e^{t} & =e^{2 t}+1 \text { ou } \mathbf{e}^{\mathbf{2 t}}-\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}} \mathbf{e}^{\mathbf{t}}+\mathbf{1}=\mathbf{0} \end{aligned}
fazendo
x=e^{t} , temos
\mathbf{x}^{2}-\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}} \mathbf{x}+\mathbf{1}=\mathbf{0} .
x=e^{t}=\frac{2 e^{s} \pm \sqrt{4 e^{2 s}-4}}{2}=e^{s} \pm \sqrt{e^{2 s}-1}
Escolhemos o ramo
\mathbf{e}^{\mathbf{t}}=\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}} , (note que
e^{2 s}-1 \geq 0 para
s \geq 0 ). Temos
\mathbf{t}=\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)=\mathbf{g}(\mathbf{s})
Então substituindo o parámetro
t por
g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right) na curva
\mathbf{R}(t)= (t-\operatorname{tanh} t, \operatorname{sech} t) , teremos a parametrização por cumprimento de arco:
\mathbf{R}(s)=(\boldsymbol{g}(s)-\operatorname{tanh} (\boldsymbol{g}(s)), \operatorname{sech}(\boldsymbol{g}(s))), \quad g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)
Vamos a simplificar esta parametrização.
(i) Primeiro a segunda coordenada
y(s)=\operatorname{sech}(g(s))=\operatorname{sech}\left(\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)\right) . Pela definição de sech
(g(s)) , temos:
\begin{aligned} & \operatorname{sech}(g(s))=\frac{2}{e^{g(s)}+e^{-g(s)}}, \text { onde } \\\ & \left\{\begin{array}{cc} e^{g(s)} & =e^{\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)}=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1} \\\ e^{-g(s)} & =e^{-\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}\right)}=\frac{1}{e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} \end{array}\right. \end{aligned}
Então
\quad \mathbf{y}(\mathbf{s})=\operatorname{sech}(\mathbf{g}(\mathbf{s}))=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}}=\mathbf{e}^{-\mathbf{s}}
Aquim estamos usando a identidade (que segue por racionalização do denominador)
\frac{1}{P+\sqrt{P^{2}-1}}=P-\sqrt{P^{2}-1}
Outra maneira similar de achar
y(s) é começando de
y(t)=\operatorname{sech} t :
\begin{array}{r} y(t)=\operatorname{sech} t=\frac{1}{\operatorname{cosh} t}=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}} \\\ \left\{\begin{array}{c} e^{t} \\\ e^{-t}=\frac{1}{e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}}+\sqrt{e^{2 s}-1}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} \end{array} \Rightarrow \mathbf{e}^{\mathbf{t}}+\mathbf{e}^{-\mathbf{t}}=\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}\right. \end{array}
Substituindo em
y(t)=\operatorname{sech} t=\frac{2}{e^{t}+e^{-t}} , temos também
\mathbf{y}(\mathbf{s})=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{2 e}^{\mathbf{s}}}=\mathbf{e}^{-\mathbf{s}} .
(ii) Agora para
\mathbf{x}(\mathbf{s})=\mathbf{g}(\mathbf{s})-\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}) , usando a igualdade
\operatorname{tanh} ^{-1}(\operatorname{tanh} g(s))= g(s) , teremos que
\mathbf{x}(\mathbf{s})=\operatorname{tanh} ^{-\mathbf{1}}(\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}))-\operatorname{tanh} \mathbf{g}(\mathbf{s}), \quad \mathbf{g}(\mathbf{s})=\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)
Vamos a simplificar o termo
\operatorname{tanh} (g(s)) onde
g(s)=\ln \left(e^{s}+\sqrt{e^{2} s-1}\right) . Pela definição
\operatorname{tanh} g(s)=\frac{e^{g(s)}-e^{-g(s)}}{e^{g(s)}+e^{-g(s)}} , então:
\text { Seja } X=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1}, \text { então: } \quad \operatorname{tanh} (\ln X)=\frac{e^{\ln X}-e^{-\ln X}}{e^{\ln X}+e^{-\ln X}}=\frac{X-X^{-1}}{X+X^{-1}} ã
Como
X^{-1}=e^{s}-\sqrt{e^{2 s}-1} e
X=e^{s}+\sqrt{e^{2 s}-1} , temos
\begin{gathered} X+X^{-1}=2 e^{s}, \quad X-X^{-1}=2 \sqrt{e^{2 s}-1} \\\ \Rightarrow \operatorname{tanh} (\mathbf{g}(\mathbf{s}))=\operatorname{tanh} \left(\ln \left(\mathbf{e}^{\mathbf{s}}+\sqrt{\mathbf{e}^{\mathbf{2 s}}-\mathbf{1}}\right)\right)=\frac{\sqrt{e^{2 s}-1}}{e^{s}}=\sqrt{\mathbf{1}-\mathbf{e}^{-\mathbf{2 s}}} \end{gathered}
Assim, temos que
\mathbf{R}(s)=\left(\operatorname{tanh} ^{-1}\left(\sqrt{1-e^{-2 s}}\right)-\sqrt{1-e^{-2 s}}, e^{-s}\right)