Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico
z / c=x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}
no ponto \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) pode ser escrita como
\frac{2 x_{0} x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0} y}{b^{2}}=\frac{z+z_{0}}{c}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
\frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}
e um ponto sobre essa superfície \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). Pede-se mostrar que a equação do plano tangente à superfície nesse ponto pode ser escrita como
\frac{2 x_{0} x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0} y}{b^{2}}=\frac{z+z_{0}}{c}.
Informações relevantes dadas: a equação do paraboloide e as coordenadas do ponto de tangência \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right). A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos reescrever a superfície na forma explícita z=f(x,y). Multiplicando ambos os lados por c obtemos
z=c\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right).
Definimos então
f(x,y)=c\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right),
de modo que a superfície é o gráfico z=f(x,y).

Passo 3

Lembrete importante (a “fórmula” que vamos usar): para uma função f(x,y) com derivadas parciais em (x_{0},y_{0}), o plano tangente ao gráfico z=f(x,y) no ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) (onde z_{0}=f(x_{0},y_{0})) é dado por
z-z_{0}=f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y. Vou explicar como calcular essas derivadas e por que essa fórmula funciona: ela vem da aproximação linear (expansão de primeira ordem) de f em torno de (x_{0},y_{0}). Em provas, aplicar essa fórmula é o caminho direto quando a superfície é dada por z=f(x,y).

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=c\left(\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\right).
  • Derivada parcial em relação a x: trate y como constante e derive x^{2}.
f_{x}(x,y)=c\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)=c\cdot\frac{2x}{a^{2}}=\frac{2c x}{a^{2}}.
  • Derivada parcial em relação a y: trate x como constante e derive y^{2}.
f_{y}(x,y)=c\cdot\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)=c\cdot\frac{2y}{b^{2}}=\frac{2c y}{b^{2}}.
Expliquei passo a passo: derivada de x^{2} é 2x; o fator constante 1/a^{2} permanece; multiplicamos por c.

Passo 5

Agora avaliamos as derivadas no ponto (x_{0},y_{0}):
f_{x}(x_{0},y_{0})=\frac{2c x_{0}}{a^{2}},\qquad f_{y}(x_{0},y_{0})=\frac{2c y_{0}}{b^{2}}.
Substituindo na fórmula do plano tangente:
z-z_{0}=\frac{2c x_{0}}{a^{2}}(x-x_{0})+\frac{2c y_{0}}{b^{2}}(y-y_{0}).

Passo 6

Façamos a álgebra: expandindo o lado direito temos
z-z_{0}=\frac{2c x_{0}x}{a^{2}}-\frac{2c x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{2c y_{0}y}{b^{2}}-\frac{2c y_{0}^{2}}{b^{2}}.
Agora dividimos toda a equação por c para simplificar e trabalhar com termos que apareçam como na forma desejada:
\frac{z-z_{0}}{c}=\frac{2 x_{0}x}{a^{2}}-\frac{2 x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{2 y_{0}y}{b^{2}}-\frac{2 y_{0}^{2}}{b^{2}}.

Passo 7

Aqui usamos um fato crucial: o ponto \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) está na superfície, ou seja satisfa z a equação original. Então
\frac{z_{0}}{c}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}.
Multiplicando essa igualdade por 2
\frac{2z_{0}}{c}=\frac{2x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{2y_{0}^{2}}{b^{2}}.
Substituímos \dfrac{2x_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{2y_{0}^{2}}{b^{2}} por \dfrac{2z_{0}}{c} na equação do passo anterior. Assim o lado direito fica
\frac{2 x_{0}x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0}y}{b^{2}}-\frac{2z_{0}}{c}.
Portanto
\frac{z-z_{0}}{c}=\frac{2 x_{0}x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0}y}{b^{2}}-\frac{2z_{0}}{c}.

Passo 8

Agora reorganizamos a equação somando \dfrac{2z_{0}}{c} em ambos os lados:
\frac{z-z_{0}}{c}+\frac{2z_{0}}{c}=\frac{2 x_{0}x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0}y}{b^{2}}.
O lado esquerdo simplifica porque \dfrac{z-z_{0}}{c}+\dfrac{2z_{0}}{c}=\dfrac{z+z_{0}}{c}. Assim obtemos exatamente
\frac{z+z_{0}}{c}=\frac{2 x_{0}x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0}y}{b^{2}},
que é a forma pedida (apenas trocando os lados da igualdade chegamos na forma solicitada).

Resposta

\frac{2 x_{0} x}{a^{2}}+\frac{2 y_{0} y}{b^{2}}=\frac{z+z_{0}}{c}

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