Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado:
z=(2 x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10, \quad(3,3,5)

Passo 1

O enunciado fornece a superfície definida pela equação
(2x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10
e pede duas coisas no ponto (3,3,5):
(a) a equação do plano tangente à superfície nesse ponto;
(b) a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes dadas:
  • A equação implícita da superfície é (2x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10.
  • O ponto onde devemos obter plano e reta é (3,3,5).

Passo 2

Como se faz esse tipo de problema (aula rápida):
  • Quando uma superfície é dada implicitamente por \;F(x,y,z)=\text{constante}\;, o vetor gradiente \nabla F no ponto é perpendicular à superfície nesse ponto; ou seja, é normal ao plano tangente.
  • Definição do gradiente: \nabla F(x,y,z)=\big(\partial F/\partial x,\;\partial F/\partial y,\;\partial F/\partial z\big). Cada componente é a derivada parcial de F em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
  • Fórmula do plano tangente (quando o ponto pertence à superfície): se F(x,y,z)=C e (x_0,y_0,z_0) está na superfície, então a equação do plano tangente é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\big(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\big)=0.
  • A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0); em forma paramétrica:
(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),\quad t\in\mathbb{R}.
Vou agora aplicar essas ideias à função F(x,y,z)=(2x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F (aqui uso regra da cadeia passo a passo):
Para a parte (2x-2)^{2}: seja u(x)=2x-2. Então \frac{d}{dx}u^{2}=2u\cdot u'. Como u'=2, obtemos
\frac{\partial}{\partial x}(2x-2)^{2}=2(2x-2)\cdot 2=4(2x-2)=8x-8.
Para (y-1)^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}(y-1)^{2}=2(y-1).
Para (z-3)^{2}:
\frac{\partial}{\partial z}(z-3)^{2}=2(z-3).
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\big(8x-8,\;2(y-1),\;2(z-3)\big).

Passo 4

Antes de usar a fórmula do plano tangente, é obrigatório verificar se o ponto (3,3,5) pertence à superfície dada. Substituo na equação:
Calculemos termo a termo:
2x-2 \text{ em } x=3 \Rightarrow 2\cdot 3-2=6-2=4,\quad (2x-2)^{2}=4^{2}=16.
(y-1)^{2} \text{ em } y=3 \Rightarrow (3-1)^{2}=2^{2}=4.
(z-3)^{2} \text{ em } z=5 \Rightarrow (5-3)^{2}=2^{2}=4.
Somando:
(2\cdot 3-2)^{2}+(3-1)^{2}+(5-3)^{2}=16+4+4=24.
Como 24\neq 10, concluímos que o ponto (3,3,5) NÃO pertence à superfície definida por
(2x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-3)^{2}=10.

Passo 5

Consequência lógica importante (explicação didática e encorajamento): para definir plano tangente ou reta normal àquela superfície num ponto, o ponto precisa estar sobre a superfície. Como (3,3,5) não está sobre a superfície dada, NÃO existe (não faz sentido determinar) o plano tangente nem a reta normal da superfície dada naquele ponto.
Para você entender o procedimento prático (útil para a prova), vou mostrar o que faríamos caso o ponto pertencesse à superfície — ou, equivalentemente, o plano tangente à superfície de nível correspondente ao valor F(3,3,5)=24. Isso é um exemplo pedagógico, não é a resposta pedida porque muda a constante da superfície.
Avalio o gradiente em (3,3,5) usando a expressão do Passo 3:
\nabla F(3,3,5)=\big(8\cdot 3-8,\;2(3-1),\;2(5-3)\big)=(16,4,4).
Podemos simplificar a direção dividindo por 4, obtendo a direção (4,1,1).
Se estivéssemos trabalhando com a superfície de nível F=24 (ou se o enunciado pedisse o plano/tangente naquele nível), o plano tangente em (3,3,5) seria dado por
16(x-3)+4(y-3)+4(z-5)=0,
que simplificando por 4 fica
4(x-3)+(y-3)+(z-5)=0,
ou seja
4x+y+z=20.
E a reta normal (paramétrica) seria
x=3+4t,\quad y=3+t,\quad z=5+t,\quad t\in\mathbb{R},
direção (4,1,1). Reforço: isto é só um exemplo de aplicação do método — serve para treinar — mas NÃO resolve o pedido original porque o pedido original exige que o ponto esteja na superfície com constante 10, o que não ocorre.

Passo 6

Resumo final (énfase motivacional): verificamos passo a passo, aplicamos derivadas parciais e a ideia do gradiente, e chegamos na verificação que o ponto não pertence à superfície dada. Por isso, não é possível fornecer nem o plano tangente nem a reta normal daquela superfície no ponto solicitado. Se quiser, eu posso:
  • corrigir o problema caso o enunciado tivesse outra constante (por exemplo 24 em vez de 10); ou
  • encontrar o plano tangente e reta normal à superfície correta onde o ponto realmente pertença — é só me dizer qual ajuste você quer (mas sem ficar desesperado: fizemos tudo com calma e deu certo até encontrar a inconsistência; você já aprendeu o método!).

Resposta

(a) Não é possível determinar o plano tangente porque (3,3,5) não pertence à superfície dada: (2\cdot3-2)^{2}+(3-1)^{2}+(5-3)^{2}=24\neq10.
(b) Não é possível determinar a reta normal porque (3,3,5) não pertence à superfície dada.

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