Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado:
Passo 1
O enunciado fornece a superfície definida pela equação
e pede duas coisas no ponto
:
(a) a equação do plano tangente à superfície nesse ponto;
(b) a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
(a) a equação do plano tangente à superfície nesse ponto;
(b) a equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes dadas:
- A equação implícita da superfície é
. - O ponto onde devemos obter plano e reta é
.
Passo 2
Como se faz esse tipo de problema (aula rápida):
- Quando uma superfície é dada implicitamente por
, o vetor gradiente no ponto é perpendicular à superfície nesse ponto; ou seja, é normal ao plano tangente. - Definição do gradiente:
. Cada componente é a derivada parcial de em relação àquela variável, mantendo as outras fixas. - Fórmula do plano tangente (quando o ponto pertence à superfície): se
e está na superfície, então a equação do plano tangente é
- A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada por
; em forma paramétrica:
Vou agora aplicar essas ideias à função
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(aqui uso regra da cadeia passo a passo):
Para a parte
: seja
. Então
. Como
, obtemos
Para
:
Para
:
Portanto o gradiente é
Passo 4
Antes de usar a fórmula do plano tangente, é obrigatório verificar se o ponto
pertence à superfície dada. Substituo na equação:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Como
, concluímos que o ponto
NÃO pertence à superfície definida por
Passo 5
Consequência lógica importante (explicação didática e encorajamento): para definir plano tangente ou reta normal àquela superfície num ponto, o ponto precisa estar sobre a superfície. Como
não está sobre a superfície dada, NÃO existe (não faz sentido determinar) o plano tangente nem a reta normal da superfície dada naquele ponto.
Para você entender o procedimento prático (útil para a prova), vou mostrar o que faríamos caso o ponto pertencesse à superfície — ou, equivalentemente, o plano tangente à superfície de nível correspondente ao valor
. Isso é um exemplo pedagógico, não é a resposta pedida porque muda a constante da superfície.
Avalio o gradiente em
usando a expressão do Passo 3:
Podemos simplificar a direção dividindo por
, obtendo a direção
.
Se estivéssemos trabalhando com a superfície de nível
(ou se o enunciado pedisse o plano/tangente naquele nível), o plano tangente em
seria dado por
que simplificando por
fica
ou seja
E a reta normal (paramétrica) seria
direção
. Reforço: isto é só um exemplo de aplicação do método — serve para treinar — mas NÃO resolve o pedido original porque o pedido original exige que o ponto esteja na superfície com constante
, o que não ocorre.
Passo 6
Resumo final (énfase motivacional): verificamos passo a passo, aplicamos derivadas parciais e a ideia do gradiente, e chegamos na verificação que o ponto não pertence à superfície dada. Por isso, não é possível fornecer nem o plano tangente nem a reta normal daquela superfície no ponto solicitado. Se quiser, eu posso:
- corrigir o problema caso o enunciado tivesse outra constante (por exemplo
em vez de ); ou - encontrar o plano tangente e reta normal à superfície correta onde o ponto realmente pertença — é só me dizer qual ajuste você quer (mas sem ficar desesperado: fizemos tudo com calma e deu certo até encontrar a inconsistência; você já aprendeu o método!).
Resposta
(a) Não é possível determinar o plano tangente porque
não pertence à superfície dada:
.
(b) Não é possível determinar a reta normal porque não pertence à superfície dada.
(b) Não é possível determinar a reta normal porque