Use a Regra da Cadeia para achar \frac{\partial z}{\partial s} e \frac{\partial z}{\partial t}, sendo:
z=e^{x+2 y}, \quad x=s / t, \quad y=t / s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações e pede duas derivadas parciais:
  • z = e^{x+2y}.
  • x = \dfrac{s}{t}.
  • y = \dfrac{t}{s}.
Perguntas que precisamos responder:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial s}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial t}.

Passo 2

Regra da cadeia para funções compostas de duas variáveis: se z=z(x,y) com x=x(s,t) e y=y(s,t), então as derivadas parciais de z em relação a s e t são dadas por
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s},
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir de z=e^{x+2y}.
A derivada de e^{u} em relação a uma variável é e^{u} vezes a derivada de u. Aqui u=x+2y.
Portanto,
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 1 = e^{x+2y},
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{x+2y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=e^{x+2y}\cdot 2 = 2e^{x+2y}.
Expliquei: a derivada parcial de x+2y em relação a x é 1 (pois y é tratado como constante) e em relação a y é 2.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t.
Escrevo x=\dfrac{s}{t}=s\cdot t^{-1}. Derivando com t tratado como constante:
\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{1}{t},
\frac{\partial x}{\partial t}=s\cdot(-1)t^{-2}=-\frac{s}{t^{2}}.
Escrevo y=\dfrac{t}{s}=t\cdot s^{-1}. Derivando com s tratado como constante ou como variável apropriada:
\frac{\partial y}{\partial s}=t\cdot(-1)s^{-2}=-\frac{t}{s^{2}},
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{1}{s}.
Aqui usei a regra do quociente ou, mais direto, a regra da potência para s^{-1}.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia para \dfrac{\partial z}{\partial s} substituindo as derivadas que já calculei:
\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}, \dfrac{\partial x}{\partial s}=\dfrac{1}{t}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y}, \dfrac{\partial y}{\partial s}=-\dfrac{t}{s^{2}}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{x+2y}\cdot\frac{1}{t}+2e^{x+2y}\cdot\Big(-\frac{t}{s^{2}}\Big).
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{x+2y}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right).
Finalmente, substituo x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} dentro do expoente, se quisermos a resposta em termos de s e t:
\frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right).

Passo 6

Agora faço \dfrac{\partial z}{\partial t} do mesmo modo:
\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo \dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x+2y}, \dfrac{\partial x}{\partial t}=-\dfrac{s}{t^{2}}, \dfrac{\partial z}{\partial y}=2e^{x+2y}, \dfrac{\partial y}{\partial t}=\dfrac{1}{s}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{x+2y}\cdot\Big(-\frac{s}{t^{2}}\Big)+2e^{x+2y}\cdot\frac{1}{s}.
Fatorando e^{x+2y}:
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{x+2y}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right).
Substituindo x=\dfrac{s}{t} e y=\dfrac{t}{s} no expoente:
\frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial s}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\left(\frac{1}{t}-\frac{2t}{s^{2}}\right)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t}=e^{\frac{s}{t}+2\frac{t}{s}}\left(-\frac{s}{t^{2}}+\frac{2}{s}\right)

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