Use a Regra da Cadeia para achar
e
, sendo:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações e pede duas derivadas parciais:
-
. -
. -
.
Perguntas que precisamos responder:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Regra da cadeia para funções compostas de duas variáveis: se
com
e
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
A derivada de
em relação a uma variável é
vezes a derivada de
. Aqui
.
Portanto,
Expliquei: a derivada parcial de
em relação a
é
(pois
é tratado como constante) e em relação a
é
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Escrevo
. Derivando com
tratado como constante:
Escrevo
. Derivando com
tratado como constante ou como variável apropriada:
Aqui usei a regra do quociente ou, mais direto, a regra da potência para
.
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia para
substituindo as derivadas que já calculei:
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Fatorando
:
Finalmente, substituo
e
dentro do expoente, se quisermos a resposta em termos de
e
:
Passo 6
Agora faço
do mesmo modo:
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Fatorando
:
Substituindo
e
no expoente: