Nos Exercícios 9 e 10, encontre todos os vetores \mathbf{x} em \mathbb{R}^{4} que são transformados no vetor nulo pela aplicação \mathbf{x} \mapsto A \mathbf{x}.
A=[rrrr1 & 3 & 9 & 2 1 & 0 & 3 & -4 0 & 1 & 2 & 3 -2 & 3 & 0 & 5]

Passo 1

O enunciado pede o espaço nulo de A, isto é, todos os vetores x=(x1,x2,x3,x4)^TinR^4 tais que
Ax=0
O conteúdo é o cálculo do núcleo (nullspace) de uma matriz via eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid0r] e aplicamos operações de linha para triangularizar:
[rrrr|r 1 & 3 & 9 & 2 & 0 1 & 0 & 3 & -4 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 -2 & 3 & 0 & 5 & 0 ]
Fazemos
R2 R2-R1, R4 R4+2,R1,
obtendo
[rrrr|r 1 & 3 & 9 & 2 & 0 0 & -3 & -6 & -6 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 9 & 18 & 9 & 0 ]

Passo 3

Agora dividimos a linha 2 por -3 e eliminamos a coluna 2 nas demais linhas:
R2 -tfrac13 R2Longrightarrow [rrrr|r 1 & 3 & 9 & 2 & 0 0 & 1 & 2 & 2 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 9 & 18 & 9 & 0 ],
depois
R1 R1-3R2, R3 R3-R2, R4 R4-9R2,
que leva a
[rrrr|r 1 & 0 & 3 & -4 & 0 0 & 1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -9 & 0 ]
Finalmente, R4 R4+9R3 dá uma linha nula, e ficamos com os pivôs em x1,x2,x4.

Passo 4

Das equações finais lemos
x4=0, x2+2x3+2x4=0 Rightarrow x2=-2x3, x1+3x3-4x4=0 Rightarrow x1=-3x3
Tomando x3=t como parâmetro livre, obtemos
x=(x1,x2,x3,x4)^T =t,(-3,,-2,,1,,0)^T, tinR

Resposta

O espaço nulo de A é
l,t,(-3,-2,1,0)^Tmid tinRr

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