Quantas linhas e colunas é preciso que a matriz A tenha para que se possa definir uma aplicação de R^4 em R^5 pela regra T(x)= A x ?

Passo 1

O enunciado pede uma aplicação linear
Tcolon R^4to R^5
definida por T(x) = A,x.
Queremos descobrir o tamanho da matriz A (quantas linhas e quantas colunas) para que, ao multiplicar por um vetor em R^4, o resultado seja um vetor em R^5.

Passo 2

Suponha que A seja uma matriz de tamanho mtimes n.
O vetor x em R^4 pode ser visto como uma matriz coluna de tamanho 4times1.
Para que o produto A,x seja definido, o número de colunas de A deve coincidir com o número de linhas de x.
Logo, devemos ter
n = 4

Passo 3

O produto A,x então será uma matriz coluna de tamanho mtimes1, ou seja, um vetor em R^m.
Mas queremos que T(x)=A,x pertença a R^5.
Portanto, deve valer
m = 5

Resposta

A matriz A precisa ter 5 linhas e 4 colunas.

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