Determine se as integrais impróprias abaixo divergem ou convergem. Em caso de convergência, determine seus valores:
integral-infty^1 x cdot e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza! A questão pede para ver se a integral imprópria integral-infty^1 x e^-x^2,dx converge ou diverge. Esse tipo de problema envolve achar uma antiderivada e depois usar limites quando o intervalo vai até o infinito.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de x e^-x^2, a gente percebe que a derivada de -tfrac12e^-x^2 é exatamente x e^-x^2. Logo, uma primitiva é -tfrac12e^-x^2.

Passo 3

Reescrevemos a integral como limite:
integral-infty^1 x e^-x^2,dx = limAto -infty integralA^1 x e^-x^2,dx
Substituindo a primitiva, fica
limAto -infty l[-tfrac12e^-x^2r]x=A^x=1

Passo 4

Calculando a diferença, obtemos
l(-tfrac12e^-1r)-l(-tfrac12e^-A^2r)= -tfrac12e + tfrac12e^-A^2
Como e^-A^2to0 quando Ato-infty, o segundo termo desaparece.

Passo 5

Portanto, a integral converge e seu valor é -tfrac12e.

Resposta

A integral converge e vale -tfrac12e.

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