Nos exercícios 11 e 12 encontre o valor de a que satisfaz a igualdade
lim x +infty(1+e^2 x2)^ax=raize

Passo 1

O exercício pede para achar o valor de a que satisfaz limxto+inftyl(tfrac1+e^2x2r)^a/x=raiz e. O conteúdo envolvido é limite de função exponencial e uso de logaritmo para lidar com expoentes variáveis.

Passo 2

Para simplificar esse tipo de limite, usamos a propriedade
lim f(x)^g(x)=e^liml(g(x)ln f(x)r). Ou seja, vamos estudar
L=limxto+inftyl(tfrac1+e^2x2r)^a/x
calculando primeiro ln L.

Passo 3

Calculamos
$$\ln\Bigl(\bigl(\tfrac{1+e{2x}}{2}\bigr){a/x}\Bigr)=\frac{a}{x}\ln\Bigl(\tfrac{1+e^{2x}}{2}\Bigr).
lnl(l(tfrac1+e^2x2r)^a/xr)=axlnl(tfrac1+e^2x2r) é
\frac{a}{x}\ln\Bigl(\tfrac{1+e^{2x}}{2}\Bigr)
=\frac{a}{x}\bigl(2x-\ln2+o(1)\bigr)
=2a-\frac{a\ln2}{x}+o\bigl(\tfrac1x\bigr).
$$
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ln(1+e^2x)=2x+o(1)

Passo 4

Como L=lim f=raiz e implica ln L=tfrac12, igualamos
2a=tfrac12 e obtemos a=tfrac14.

Resposta

a=tfrac14

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