Nos problemas de 15 a 24 , encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
(rr1 & i -i & 1)

Passo 1

Temos a matriz A = 1 & i -i & 1. O conteúdo é encontrar autovalores e autovetores, e vamos precisar montar o polinômio característico usando determinante e depois resolver sistemas lineares para cada autovalor.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0. Montamos
det1-lambda & i -i & 1-lambda = (1-lambda)^2 - i(-i)

Passo 3

Como i(-i) = -i^2 = 1, o polinômio fica:
(1-lambda)^2 - 1 = 0 Longrightarrow lambda^2 -2lambda = 0 Longrightarrow lambda(lambda-2)=0

Passo 4

Logo, os autovalores são lambda1 = 0 e lambda2 = 2.

Passo 5

Para lambda1 = 0, resolvemos A v = 0, ou seja
1 & i -i & 1x y = 0 0

Passo 6

Isso gera o sistema x + i y = 0, ou seja x = -i y. Tomando y = 1, um autovetor é v1 = (-i,,1)^T.

Passo 7

Para lambda2 = 2, resolvemos (A - 2I) v = 0, ou seja
-1 & i -i & -1x y = 0 0,

Passo 8

que dá -x + i y = 0, ou x = i y. Tomando y = 1, obtemos v2 = (i,,1)^T.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 0 com autovetor associado (-i,1)^T, e lambda2 = 2 com autovetor associado (i,1)^T.

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