Exercícios 11-15: Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como \infty,-\infty ou \nexists (não existe).
b) \lim_{x \to a} f(x)

Passo 1

O enunciado pede para classificar o limite
\lim_{x\to a} f(x)
como sendo \infty, -\infty ou \nexists (não existe). As informações que o enunciado deu são apenas: “Para a f(x) dada” e a letra do item “b) \lim_{x\to a} f(x)”.
O que está ausente e é relevante aqui: não foi fornecida a fórmula de f(x), nem um gráfico, nem uma tabela de valores nem uma descrição do comportamento de f perto de x=a. Também não foi especificado o valor concreto de a.

Passo 2

Como o enunciado não fornece f(x) nem informação sobre o comportamento de f perto de x=a, NÃO É POSSÍVEL calcular ou classificar o limite. Para decidir se o limite é \infty, -\infty ou \nexists é preciso, no mínimo, saber a regra de formação de f (ou ter o gráfico/tabela que mostre o comportamento ao se aproximar de a). Sem isso não dá para concluir nada numérico ou categórico.

Passo 3

Vou aproveitar e te ensinar passo a passo como determinar essa classificação quando a função estiver disponível — assim na prova você faz direto. Primeiro a ideia geral: a classificação do limite \lim_{x\to a} f(x) depende do comportamento de f(x) quando x se aproxima de a pela esquerda e pela direita. Procedimento prático:
  1. Calcule os limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x).
  2. Compare os dois:
    • Se ambos forem iguais a um número finito L, então \lim_{x\to a} f(x)=L (isso não entra nas três opções pedidas, mas é importante).
    • Se ambos forem +\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
    • Se ambos forem -\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=-\infty.
    • Se os dois limites laterais existirem mas forem diferentes (por exemplo um é +\infty e o outro é -\infty, ou um é finito e o outro \infty), então o limite bilateral não existe: \nexists.
    • Se algum dos limites laterais não existir por oscilar (por exemplo \sin(1/(x-a))) ou por comportamento misto, então o limite bilateral também é \nexists.

Passo 4

Técnicas usuais que você deverá usar (dependendo do tipo de f):
  • Função racional (fração de polinômios): fatorar numerador e denominador para ver se há cancelamento; se houver divisão por zero sem cancelamento, isso frequentemente gera assimptota vertical em x=a. Depois faça um estudo de sinal para saber se o infinito é +\infty ou -\infty.
  • Potências pares no denominador (ex.: 1/(x-a)^2): dão o mesmo sinal dos dois lados, normalmente \pm\infty igual para as duas laterais.
  • Potências ímpares no denominador (ex.: 1/(x-a)): dão sinais opostos nas duas laterais, logo o limite bilateral é \nexists (os laterais são +\infty e -\infty).
  • Funções que oscilam quando se aproxima de a (ex.: \sin(1/(x-a))): não tendem a \pm\infty, tendem a oscilar entre limites, então o limite bilateral é \nexists.
  • Para determinar sinal perto de a, sempre faça análise de sinais: escolha x=a+h com h pequeno positivo e h pequeno negativo e veja o sinal da expressão dominante.

Passo 5

Exemplos curtos para fixar (faça estes passos mentalmente na prova):
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^2}: calcule as laterais
    \lim_{x\to a^-}\dfrac{1}{(x-a)^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to a^+}\dfrac{1}{(x-a)^2}=+\infty,
    logo \lim_{x\to a} f(x)=\infty.
  • Se f(x)=\dfrac{1}{x-a}: calcule as laterais
    \lim_{x\to a^-}\dfrac{1}{x-a}=-\infty,\qquad \lim_{x\to a^+}\dfrac{1}{x-a}=+\infty,
    como os lados são diferentes, \lim_{x\to a} f(x)=\nexists.
  • Se f(x)=-\dfrac{1}{(x-a)^2}: ambos os lados vão para -\infty, então \lim_{x\to a} f(x)=-\infty.

Passo 6

Checklist rápido que eu recomendo que você use na prova (sem pânico):
  • Está dada a expressão de f? se não, não dá pra responder (diga isso).
  • Se estiver dada, calcule as laterais separadamente.
  • Use fatoração/sinal/termo dominante conforme o tipo da função.
  • Compare laterais e conclua seguindo o esquema do Passo 3.
  • Ao escrever a resposta final, seja explícito: por exemplo escreva “ \infty” ou “ -\infty” ou “ \nexists (os limites laterais são distintos)”.

Resposta

Não é possível determinar: a função f(x) e/ou o comportamento de f perto de x=a não foram fornecidos.

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