Exercícios 11-15: Para a
dada, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(não existe).
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para classificar o limite
como sendo
,
ou
(não existe). As informações que o enunciado deu são apenas: “Para a
dada” e a letra do item “b)
”.
O que está ausente e é relevante aqui: não foi fornecida a fórmula de , nem um gráfico, nem uma tabela de valores nem uma descrição do comportamento de
perto de
. Também não foi especificado o valor concreto de
.
O que está ausente e é relevante aqui: não foi fornecida a fórmula de
Passo 2
Como o enunciado não fornece
nem informação sobre o comportamento de
perto de
, NÃO É POSSÍVEL calcular ou classificar o limite. Para decidir se o limite é
,
ou
é preciso, no mínimo, saber a regra de formação de
(ou ter o gráfico/tabela que mostre o comportamento ao se aproximar de
). Sem isso não dá para concluir nada numérico ou categórico.
Passo 3
Vou aproveitar e te ensinar passo a passo como determinar essa classificação quando a função estiver disponível — assim na prova você faz direto. Primeiro a ideia geral: a classificação do limite
depende do comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita. Procedimento prático:
-
Calcule os limites laterais
e . -
Compare os dois:
- Se ambos forem iguais a um número finito
, então (isso não entra nas três opções pedidas, mas é importante). - Se ambos forem
, então . - Se ambos forem
, então . - Se os dois limites laterais existirem mas forem diferentes (por exemplo um é
e o outro é , ou um é finito e o outro ), então o limite bilateral não existe: . - Se algum dos limites laterais não existir por oscilar (por exemplo
) ou por comportamento misto, então o limite bilateral também é .
- Se ambos forem iguais a um número finito
Passo 4
Técnicas usuais que você deverá usar (dependendo do tipo de
):
- Função racional (fração de polinômios): fatorar numerador e denominador para ver se há cancelamento; se houver divisão por zero sem cancelamento, isso frequentemente gera assimptota vertical em
. Depois faça um estudo de sinal para saber se o infinito é ou . - Potências pares no denominador (ex.:
): dão o mesmo sinal dos dois lados, normalmente igual para as duas laterais. - Potências ímpares no denominador (ex.:
): dão sinais opostos nas duas laterais, logo o limite bilateral é (os laterais são e ). - Funções que oscilam quando se aproxima de
(ex.: ): não tendem a , tendem a oscilar entre limites, então o limite bilateral é . - Para determinar sinal perto de
, sempre faça análise de sinais: escolha com pequeno positivo e pequeno negativo e veja o sinal da expressão dominante.
Passo 5
Exemplos curtos para fixar (faça estes passos mentalmente na prova):
-
Se
: calcule as laterais logo. -
Se
: calcule as laterais como os lados são diferentes,. -
Se
: ambos os lados vão para , então .
Passo 6
Checklist rápido que eu recomendo que você use na prova (sem pânico):
- Está dada a expressão de
? se não, não dá pra responder (diga isso). - Se estiver dada, calcule as laterais separadamente.
- Use fatoração/sinal/termo dominante conforme o tipo da função.
- Compare laterais e conclua seguindo o esquema do Passo 3.
- Ao escrever a resposta final, seja explícito: por exemplo escreva “
” ou “ ” ou “ (os limites laterais são distintos)”.
Resposta
Não é possível determinar: a função
e/ou o comportamento de
perto de
não foram fornecidos.