Calcule os limites:
c) \lim_{x \to 8} x = 8

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 8} x.
Informações dadas: a função considerada é a função identidade f(x)=x e o ponto onde x se aproxima é x=8. A pergunta é apenas qual é o valor do limite quando x tende a 8.

Passo 2

O que significa dizer que \lim_{x\to 8} f(x)=L? Intuitivamente: conforme x fica cada vez mais próximo de 8 (por valores maiores ou menores), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de um número L. Então calcular o limite é identificar esse número L que a função “aproxima” quando x se aproxima de 8.
Observação sobre a função dada: a função é f(x)=x (ou seja, a identidade). Para essa função, quando x se aproxima de 8, o próprio valor x se aproxima de 8. Outra forma de dizer isso é que a função identidade é contínua em todo ponto, então o limite no ponto coincide com o valor da função no ponto: \lim_{x\to 8} f(x)=f(8).

Passo 3

Prova formal curta (vareta \varepsilon- \delta, útil em prova):
Seja \varepsilon>0 qualquer. Tome \delta=\varepsilon. Se |x-8|<\delta então
|f(x)-f(8)| = |x-8| < \delta = \varepsilon.
Isso mostra que, para qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 (neste caso \delta=\varepsilon) tal que x suficientemente próximo de 8 implica f(x) suficientemente próximo de f(8). Portanto \lim_{x\to 8} f(x)=f(8).
Interpretação prática para a prova: em problemas com funções simples (como polinômios, razão de polinômios sem indeterminação, ou a identidade), uma justificativa rápida aceita é dizer que a função é contínua no ponto, logo o limite é o valor da função naquele ponto. Para a identidade, basta observar f(8)=8.

Resposta

8

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