Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados. e ; ao redor do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rodar a região limitada por , e em torno da reta . O tema é volume por método dos anéis (discos com furo), pois o eixo de rotação é horizontal.
Passo 2
Começamos determinando os pontos de interseção entre as curvas e . Igualando-as, temos
Como a região também é limitada por , o intervalo de integração será .
Passo 3
No intervalo , a curva superior (maior valor de ) é e a curva inferior é . Podemos verificar testando um ponto, por exemplo .
Passo 4
Para o método dos anéis, definimos:
Raio externo como a distância da reta de rotação Até a curva mais afastada (a inferior):
- Raio interno como a distância da reta de rotação até a curva mais próxima (a superior):
Passo 5
O volume é dado por:
Substituindo e :
Passo 6
Expandimos os quadrados e simplificamos o integrando:
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Passo 7
Integramos termo a termo:
Avaliando de a :
Multiplicando por pi, obtemos o volume final: V = tfrac3pi2.