Nos exercícios 11 a 16, determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
y=x+x^2, y=x^2-1 e x=0; ao redor do eixo y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rodar a região limitada por y = x + x^2, y = x^2 - 1 e x = 0 em torno da reta y = 1. O tema é volume por método dos anéis (discos com furo), pois o eixo de rotação é horizontal.

Passo 2

Começamos determinando os pontos de interseção entre as curvas y = x + x^2 e y = x^2 - 1. Igualando-as, temos
x + x^2 = x^2 - 1 implies x = -1
Como a região também é limitada por x = 0, o intervalo de integração será x in [-1,0].

Passo 3

No intervalo [-1,0], a curva superior (maior valor de y) é ysup(x) = x + x^2 e a curva inferior é yinf(x) = x^2 - 1. Podemos verificar testando um ponto, por exemplo x = -0.5.

Passo 4

Para o método dos anéis, definimos:
  • Raio externo R(x) como a distância da reta de rotação Até a curva mais afastada (a inferior):
R(x) = 1 - (x^2 - 1) = 2 - x^2
- Raio interno r(x) como a distância da reta de rotação até a curva mais próxima (a superior):
r(x) = 1 - (x + x^2) = 1 - x - x^2

Passo 5

O volume é dado por:
V = pi integral-1^0 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx
Substituindo R(x) e r(x):
V = pi integral-1^0 l((2 - x^2)^2 - (1 - x - x^2)^2r),dx

Passo 6

Expandimos os quadrados e simplificamos o integrando:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4,
(1 - x - x^2)^2 = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x + 1,
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(2 - x^2)^2 - (1 - x - x^2)^2 = 3 + 2x - 3x^2 - 2x^3

Passo 7

Integramos termo a termo:
integral (3 + 2x - 3x^2 - 2x^3),dx = 3x + x^2 - x^3 - tfrac12 x^4 + C
Avaliando de -1 a 0:
3x + x^2 - x^3 - tfrac12 x^4 |-1^0 = 0 - l(-tfrac32r) = tfrac32
Multiplicando por pi, obtemos o volume final: V = tfrac3pi2.

Resposta

V = \tfrac{3\pi}{2}

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