Nos Exercicios de 11 a 20, determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumi=1^+infty 1(3 n-1)(3 n+2) (Sugestão: para obter a soma, ache primeiro a seqüência das somas parciais.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^+infty 1(3n - 1)(3n + 2)
Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar o valor da sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries e técnicas de soma de séries, como a soma das somas parciais.

Passo 2

Vamos começar simplificando o termo geral da série:
1(3n - 1)(3n + 2)
Podemos usar frações parciais para decompor esse termo. A ideia é expressar a fração como a soma de duas frações mais simples:
1(3n - 1)(3n + 2) = A3n - 1 + B3n + 2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (3n - 1)(3n + 2) para eliminar os denominadores:
1 = A(3n + 2) + B(3n - 1)
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B. Para isso, podemos escolher valores de n que simplifiquem a equação.

Passo 4

Vamos escolher n de forma que uma das variáveis elimine. Por exemplo, se n = 13:
1 = A(3 cdot 13 + 2) + B(0) 1 = A(1 + 2) 1 = 3A A = 13
Agora, escolhemos n = -23 para eliminar A:
1 = A(0) + B(3 cdot (-23) - 1) 1 = B(-2 - 1) 1 = -3B B = -13

Passo 5

Agora que encontramos A = 13 e B = -13, podemos reescrever o termo geral da série:
1(3n - 1)(3n + 2) = 1/33n - 1 - 1/33n + 2 = 13 ( 13n - 1 - 13n + 2 )

Passo 6

Agora, a série original pode ser reescrita como:
sumn=1^+infty 1(3n - 1)(3n + 2) = 13 sumn=1^+infty ( 13n - 1 - 13n + 2 )
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.

Passo 7

Vamos escrever as somas parciais para ver o comportamento:
SN = 13 ( ( 12 - 15 ) + ( 15 - 18 ) + ( 18 - 111 ) + dots + ( 13N - 1 - 13N + 2 ) )
Observamos que termos como 15 e 18 se cancelam, restando apenas os primeiros e o último termo.

Passo 8

Assim, as somas parciais ficam:
SN = 13 ( 12 - 13N + 2 )
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de SN quando N tende ao infinito.

Passo 9

Calculando o limite:
limN to +infty SN = 13 ( 12 - limN to +infty 13N + 2 ) = 13 ( 12 - 0 ) = 13 cdot 12 = 16

Resposta

A série é convergente e sua soma é boxeddfrac16.

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