Nos Exercicios de 11 a 20, determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
(Sugestão: para obter a soma, ache primeiro a seqüência das somas parciais.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
Nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente. Se for convergente, também precisamos encontrar o valor da sua soma. Para isso, vamos usar conceitos de séries e técnicas de soma de séries, como a soma das somas parciais.
Passo 2
Vamos começar simplificando o termo geral da série:
Podemos usar frações parciais para decompor esse termo. A ideia é expressar a fração como a soma de duas frações mais simples:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Para isso, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Vamos escolher
de forma que uma das variáveis elimine. Por exemplo, se
:
Agora, escolhemos
para eliminar
:
Passo 5
Agora que encontramos
e
, podemos reescrever o termo geral da série:
Passo 6
Agora, a série original pode ser reescrita como:
Essa série é telescópica, o que significa que muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos.
Passo 7
Vamos escrever as somas parciais para ver o comportamento:
Observamos que termos como
e
se cancelam, restando apenas os primeiros e o último termo.
Passo 8
Assim, as somas parciais ficam:
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 9
Calculando o limite:
Resposta
A série é convergente e sua soma é
.