Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty 2n^2+6 n

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a série infinita sumn=1^+infty 2n^2+6n. O conteúdo envolve séries de termos positivos e uso de fração parcial (método de telescópio).

Passo 2

Para aplicar telescoping, notamos que n^2+6n=n(n+6). Então fazemos a decomposição em frações parciais:
2n(n+6)=An+Bn+6
Igualando numeradores:
$$
A(n+6)+Bn=2 \quad\Rightarrow\quad (A+B)n+6A=2. A(n+6)+Bn=2 Rightarrow (A+B)n+6A=2\begin{cases}
A+B=0,\
6A=2.
\end{cases} A+B=0, 6A=2 \frac{2}{n(n+6)}=\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+6}\Bigr).$$
Agora a soma parcial A=tfrac13 fica
B=-tfrac13
Ao expandirmos esse somatório, vemos que a maioria dos termos se cancela (efeito telescópio), sobrando apenas:
2n(n+6)=13l(1n-1n+6r)
Quando SN=sumn=1^N2n(n+6), os últimos termos SN=13sumn=1^Nl(1n-1n+6r) tendem a zero. Logo SN=13l(1+12+13+14+15+16 -1N+1-cdots-1N+6r) converge para o valor finito
$$\frac{1}{3}\Bigl(1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15+\tfrac16\Bigr)
$$
e, portanto, a série original é convergente.

Resposta

Convergente.

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