Nos Exercícios de 21 a 38, determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a série infinita
. O conteúdo envolve séries de termos positivos e uso de fração parcial (método de telescópio).
Passo 2
Para aplicar telescoping, notamos que
. Então fazemos a decomposição em frações parciais:
Igualando numeradores:
$$
A(n+6)+Bn=2 \quad\Rightarrow\quad (A+B)n+6A=2.
\begin{cases}
A+B=0,\
6A=2.
6A=2.
\end{cases}
\frac{2}{n(n+6)}=\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+6}\Bigr).$$
Agora a soma parcial
fica
Ao expandirmos esse somatório, vemos que a maioria dos termos se cancela (efeito telescópio), sobrando apenas:
Quando
, os últimos termos
tendem a zero. Logo
converge para o valor finito
$$\frac{1}{3}\Bigl(1+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15+\tfrac16\Bigr)
$$
e, portanto, a série original é convergente.
e, portanto, a série original é convergente.
Resposta
Convergente.