Questão 8. O valor máximo da função f(x, y, z)=3 x+y-z sobre o elipsoide x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=6
(a) \sqrt{5}
(b) \sqrt{21}
(c) 2 \sqrt{5}
(d) 4 \sqrt{2}
(e) 2 \sqrt{7}
(f) 3 \sqrt{7}

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da função
f(x,y,z) = 3x + y - z
sob a restrição do elipsoide
x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 6.
O conteúdo que vamos usar é o método dos multiplicadores de Lagrange para otimizar uma função linear sujeita a uma restrição quadrática.

Passo 2

Construímos o lagrangiano
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = 3x + y - z \;-\;\lambda\bigl(x^{2} + 2y^{2} + z^{2} - 6\bigr).
As condições de ótimo surgem de anular as derivadas parciais:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 3 - 2\lambda x = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 1 - 4\lambda y = 0, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = -1 - 2\lambda z = 0.
Dessas equações isolamos x,y,z em função de \lambda:
x = \frac{3}{2\lambda}, \quad y = \frac{1}{4\lambda}, \quad z = -\frac{1}{2\lambda}.

Passo 3

Substituímos esses valores na restrição
x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 6
para encontrar \lambda. Temos
\Bigl(\tfrac{3}{2\lambda}\Bigr)^{2} +2\Bigl(\tfrac{1}{4\lambda}\Bigr)^{2} +\Bigl(-\tfrac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2} =6.
Isso dá
\frac{9}{4\lambda^{2}} +\frac{2}{16\lambda^{2}} +\frac{1}{4\lambda^{2}} =\frac{21}{8\lambda^{2}} =6 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^{2} = \frac{7}{16}.

Passo 4

Temos \lambda = \pm\frac{\sqrt7}{4}. Para decidir quem dá o máximo, calculamos
f = 3x + y - z = 3\!\bigl(\tfrac{3}{2\lambda}\bigr) + \tfrac{1}{4\lambda} - \bigl(-\tfrac{1}{2\lambda}\bigr) = \frac{21}{4\lambda}.
Se \lambda = \tfrac{\sqrt7}{4}, então
f_{\max} = \frac{21}{4\cdot(\sqrt7/4)} = \frac{21}{\sqrt7} = 3\sqrt7.
Para \lambda = -\tfrac{\sqrt7}{4} o valor seria -3\sqrt7, que é o mínimo.

Passo 5

Concluímos que o maior valor atingido por f sobre o elipsoide é
f_{\max} = 3\sqrt7.

Resposta

3\sqrt7 (alternativa (f))

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