Responda as próximas duas questões sobre a função f(x, y)=x^{3}+3 x^{2}+y^{3}+3 y^{2}-1 definida em todo o
[\mathbb{R}^{2}).
Questão 9. O número de pontos críticos de f é
(a) 1 (d) 3
(b) 4 (e) 6
(c) 2 (f) 5
]

Passo 1

O enunciado pede o número de pontos críticos da função
f(x,y)=x^{3}+3x^{2}+y^{3}+3y^{2}-1,
definida em \mathbb{R}^{2}. Para encontrar pontos críticos, precisamos calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, igualá-las a zero e contar as soluções.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6x=3x(x+2).
Para \frac{\partial f}{\partial x}=0 temos
3x(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 3

Agora a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}+6y=3y(y+2).
Igualando a zero:
3y(y+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0\quad\text{ou}\quad y=-2.

Passo 4

Os pontos críticos são todas as combinações (x,y) com x\in\{0,-2\} e y\in\{0,-2\}. Logo, temos
2\text{ escolhas para }x \times 2\text{ escolhas para }y = 4\text{ pontos críticos.}í

Resposta

(b) 4

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