Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.
integral d t(n-1 / 2) t^n, onde n in z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral dt(n-tfrac12)t^n, onde n é um inteiro. Vamos usar a regra do fator constante e a regra da potência para integrais de potências de t.

Passo 2

Note que (n-tfrac12) não depende de t, então podemos tirar esse fator para fora da integral:
integral dt(n-tfrac12)t^n=1n-tfrac12integral t^-n,dt

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência: para aneq -1 vale
integral t^a,dt=t^a+1a+1+C
Aqui temos a=-n, então, se -nneq -1 (isto é, nneq1),
integral t^-n,dt=t^-n+1-n+1+C=t^1-n1-n+C

Passo 4

Note que o caso n=1 daria a=-1 e exigir uma integral de t^-1. Nesse caso,
integral t^-1,dt=ln|t|+C
E como n-tfrac12=tfrac12, temos
integral dt(1-tfrac12)t=2integral t^-1dt=2ln|t|+C

Passo 5

Juntando tudo, para nneq1 substituímos na expressão com fator constante e simplificamos:
1n-tfrac12cdott^1-n1-n=-2(n-1)(2n-1),t^1-n+C

Resposta

Para n\neq1: -\frac{2}{(n-1)(2n-1)},t^{1-n}+C. Para n=1: 2\ln|t|+C.

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