Responda os itens abaixo:
Calcule o rotacional do campo X(x, y, z)=x z i+x y z j-y^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o rotacional do campo vetorial X(x, y, z) = x z i + x y z j - y^2 k. O rotacional, também conhecido como curl, nos ajuda a entender a “giro” de um campo vetorial em cada ponto do espaço. Para isso, vamos usar a fórmula do rotacional e calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do rotacional de um campo vetorial $ \vec{X} = P \vec{i} + Q \vec{j} + R \vec{k} $:
X = P i + Q j + R k
Aqui, $ P = xz $, $ Q = xyz $ e $ R = -y^{2} $. Vamos calcular cada uma das derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a primeira componente $ \vec{i} $:
i
partial Rpartial y = partial (-y^2)partial y = -2y
Então, a componente $ \vec{i} $ fica:
partial Qpartial z = partial (x y z)partial z = x y

Passo 4

Agora, a segunda componente $ \vec{j} $:
j
partial Ppartial z = partial (x z)partial z = x
Então, a componente $ \vec{j} $ fica:
partial Rpartial x = partial (-y^2)partial x = 0

Passo 5

Por fim, a terceira componente $ \vec{k} $:
k
partial Qpartial x = partial (x y z)partial x = y z
Então, a componente $ \vec{k} $ fica:
partial Ppartial y = partial (x z)partial y = 0

Resposta

O rotacional do campo $ X $ é:
X

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