Nos exercícios 8 a 11, calcular a integral de superfície dada.
integral duplaS d y d z+d z d x+d x d y, onde S é a superfície exterior do cone z=raizx^2+y^2 delimitado pelos planos z=1 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de superfície sobre a superfície externa de um cone definido por , limitada pelos planos e . A matéria envolvida aqui é Cálculo de Superfícies e Integrais de Superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e aplicar a fórmula da integral de superfície usando coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria da superfície . O cone pode ser reescrito como , o que representa um cone circular. Estamos interessados na parte do cone entre e .

Passo 3

Vamos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas, onde , e . Isso facilita a descrição da superfície do cone, já que .

Passo 4

A integral de superfície dada é dx = costheta,dr - rsintheta,dtheta . Em coordenadas cilíndricas, precisamos expressar esses diferenciais em termos de dy = sintheta,dr + rcostheta,dtheta e dz = dr . Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da integral:
dy,dz + dz,dx + dx,dy = (sintheta,dr + rcostheta,dtheta)(dr) + (dr)(costheta,dr - rsintheta,dtheta) + (costheta,dr - rsintheta,dtheta)(sintheta,dr + rcostheta,dtheta)
Simplificando essa expressão, vemos que muitos termos se cancelam, e restamos com uma expressão mais simples para integrar.

Passo 6

Após simplificar, identificamos que a integral se reduz a:
integral duplaS (dy,dz + dz,dx + dx,dy) = integral duplaS 2r,dr,dtheta
Aqui, identificamos que a expressão simplificada é , que é mais fácil de integrar em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração. Como varia de 1 a 4, e como , então varia de 1 a 4. O ângulo varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 8

Configuramos a integral dupla com esses limites:
integral0^2pi integral1^4 2r,dr,dtheta

Passo 9

Primeiro, integramos em relação a integral1^4 2r,dr = 2 [ r^22 ]1^4 = [r^2]1^4 = 16 - 1 = 15 :

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^2pi 15,dtheta = 15 times 2pi = 30pi :

Resposta

A integral de superfície vale .

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