Nos exercícios 8 a 11, calcular a integral de superfície dada.
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de superfície sobre a superfície externa de um cone definido por
, limitada pelos planos
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Superfícies e Integrais de Superfície. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e aplicar a fórmula da integral de superfície usando coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria da superfície
. O cone
pode ser reescrito como
, o que representa um cone circular. Estamos interessados na parte do cone entre
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Isso facilita a descrição da superfície do cone, já que
.
Passo 4
A integral de superfície dada é
. Em coordenadas cilíndricas, precisamos expressar esses diferenciais em termos de
e
. Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da integral:
Simplificando essa expressão, vemos que muitos termos se cancelam, e restamos com uma expressão mais simples para integrar.
Passo 6
Após simplificar, identificamos que a integral se reduz a:
Aqui, identificamos que a expressão simplificada é
, que é mais fácil de integrar em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Agora, definimos os limites de integração. Como
varia de 1 a 4, e como
, então
varia de 1 a 4. O ângulo
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 8
Configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 9
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície vale
.