Transforme integral duplaOmega e^x-yx+y d x d y, onde Omega é a região no primeiro quadrante entre as retas x+y=2 e x+y=3 por fazer a transformação u=x-y e v=x+y. Então calcule a integral.

Passo 1

A gente tem a integral dupla de e^x-yx+y sobre a região Omega no primeiro quadrante limitada pelas retas x+y=2 e x+y=3. O assunto é mudança de variáveis em integrais duplas, e a gente vai precisar da transformação u=x-y, v=x+y e do cálculo do jacobiano.

Passo 2

Definindo u=x-y e v=x+y, precisamos inverter para achar x e y em função de u,v. Resolvendo o sistema:
x=u+v2, y=v-u2

Passo 3

Agora calculamos o jacobiano J=detpartial(x,y)partial(u,v). As derivadas são xu=tfrac12, xv=tfrac12, yu=-tfrac12, yv=tfrac12, logo
J=xu & xvyu & yv=12cdot12-12cdotl(-tfrac12r)=14+14=12

Passo 4

Precisamos descrever a nova região em (u,v). Como v=x+y varia de 2 a 3, temos 2<= v<=3. E no primeiro quadrante x>0,y>0 -v. Portanto:
2<= v<=3, -v<= u<= v

Passo 5

A integral vira
integral duplaOmega e^x-yx+y,dx,dy=integralv=2^3integralu=-v^ve^uvcdot12,du,dv

Passo 6

Primeiro avalia a integral em u:
integral-v^ve^u/v,du=vl(e^1-e^-1r)=vl(e-e^-1r)

Passo 7

Substituindo de volta e integrando em v:
integral2^312,vl(e-e^-1r),dv=e-e^-12integral2^3v,dv=e-e^-12cdot52=54(e-e^-1)

Resposta

54l(e-e^-1r)

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