Transforme , onde é a região no primeiro quadrante entre as retas e por fazer a transformação e . Então calcule a integral.
Passo 1
A gente tem a integral dupla de sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas retas e . O assunto é mudança de variáveis em integrais duplas, e a gente vai precisar da transformação , e do cálculo do jacobiano.
Passo 2
Definindo e , precisamos inverter para achar e em função de . Resolvendo o sistema:
Passo 3
Agora calculamos o jacobiano . As derivadas são , , , , logo
Passo 4
Precisamos descrever a nova região em (u,v). Como v=x+y varia de 2 a 3, temos 2<= v<=3. E no primeiro quadrante x>0,y>0 dá -v. Portanto:
2<= v<=3, -v<= u<= v
Passo 5
A integral vira
integral duplaOmega e^x-yx+y,dx,dy=integralv=2^3integralu=-v^ve^uvcdot12,du,dv