Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que está limitado pelos cones z^2=x^2+y^2 e z^2=16 x^2+16 y^2, entre os planos z=0 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos cones z^2=x^2+y^2 e z^2=16(x^2+y^2) entre z=0 e z=2. O conteúdo é cálculo de volume em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar da conversão para cilindricas e da expressão do elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. As equações dos cones ficam: z^2 = r^2 implica z = r, e z^2 = 16r^2 implica z = 4r.

Passo 3

Para z>=0, temos os limites em r dados por resolver as cones para r: de r = tfracz4 (cone mais aberto) até r = z (cone mais fechado). E z varia de 0 a 2, theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Montamos o integral triplo:
V = integraltheta=0^2pi integralz=0^2 integralr=z/4^z r ,dr,dz,dtheta

Passo 5

Calculamos primeiro o interno em r:
integralr=z/4^z r,dr = r^22|z/4^z = z^22 - (z/4)^22 = z^22 - z^232 = 15z^232

Passo 6

Substituindo e integrando em z e theta:
V = integral0^2pi dtheta integral0^2 15z^232 ,dz = 2pi cdot 1532 integral0^2 z^2 ,dz = 2pi cdot 1532 cdot 83 = 5pi2

Resposta

5pi2

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