Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: foi dada a função
A tarefa é encontrar a derivada de
em relação a
(ou seja,
). Informações relevantes que já temos do enunciado:
- O integrando é
. - O limite inferior da integral é
(constante). - O limite superior é
, que depende de . - A função está definida apenas para
(para ser real).
Passo 2
Entender a ferramenta principal (explicação didática): se uma função tem a forma
em que
é contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo diz que
Agora, se o limite superior não é simplesmente
, mas uma função
, isto é
podemos usar a mesma ideia mais a regra da cadeia. Defina primeiro a função auxiliar
Pelo teorema,
. Como
, pela regra da cadeia obtemos
Ou seja, para uma integral com limite superior variável, a derivada é o integrando avaliado naquele limite vezes a derivada do limite superior.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
e
. Pela fórmula do passo anterior,
Agora simplificamos cada parte.
Passo 4
Calcular
:
Calcular
. Escrevendo
, usa-se a regra de potência:
válido para
. Portanto, juntando:
Passo 5
Observação sobre
: a derivada
explode quando
, então a fórmula acima não é aplicável em
. Vale verificar se existe derivada em
diretamente pelo limite:
Com
(outra maneira: para pequenos
,
), a razão comporta-se como
quando
, que tende a
. Logo o limite não é finito e
não é diferenciável em
.