Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}+1} d t

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: foi dada a função
F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}+1}\,dt.
A tarefa é encontrar a derivada de F em relação a x (ou seja, F'(x)). Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • O integrando é e^{t^{2}+1}.
  • O limite inferior da integral é 0 (constante).
  • O limite superior é \sqrt{x}, que depende de x.
  • A função está definida apenas para x\ge 0 (para \sqrt{x} ser real).

Passo 2

Entender a ferramenta principal (explicação didática): se uma função tem a forma
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
em que f é contínua, então o Teorema Fundamental do Cálculo diz que
G'(x)=f(x).
Agora, se o limite superior não é simplesmente x, mas uma função g(x), isto é
H(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
podemos usar a mesma ideia mais a regra da cadeia. Defina primeiro a função auxiliar
A(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt.
Pelo teorema, A'(u)=f(u). Como H(x)=A(g(x)), pela regra da cadeia obtemos
H'(x)=A'(g(x))\,g'(x)=f(g(x))\,g'(x).
Ou seja, para uma integral com limite superior variável, a derivada é o integrando avaliado naquele limite vezes a derivada do limite superior.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui f(t)=e^{t^{2}+1} e g(x)=\sqrt{x}. Pela fórmula do passo anterior,
F'(x)=f\big(g(x)\big)\,g'(x)=e^{(\sqrt{x})^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big).
Agora simplificamos cada parte.

Passo 4

Calcular f(g(x)):
e^{(\sqrt{x})^{2}+1}=e^{x+1}.
Calcular g'(x). Escrevendo \sqrt{x}=x^{1/2}, usa-se a regra de potência:
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válido para x>0. Portanto, juntando:
F'(x)=e^{x+1}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{x+1}}{2\sqrt{x}},\qquad x>0.

Passo 5

Observação sobre x=0: a derivada \frac{1}{2\sqrt{x}} explode quando x\to0^+, então a fórmula acima não é aplicável em x=0. Vale verificar se existe derivada em 0 diretamente pelo limite:
\frac{F(h)-F(0)}{h}=\frac{1}{h}\int_{0}^{\sqrt{h}} e^{t^{2}+1}\,dt.
Com h=u^{2} (outra maneira: para pequenos t, e^{t^{2}+1}\approx e^{1}), a razão comporta-se como \dfrac{e^{1}u}{u^{2}}=\dfrac{e^{1}}{u} quando u=\sqrt{h}\to0^+, que tende a +\infty. Logo o limite não é finito e F não é diferenciável em x=0.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\frac{e^{x+1}}{2\sqrt{x}},\quad x>0
\displaystyle F \text{ não é diferenciável em } x=0.ãéá

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