Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
f(x)=x^{2} \int_{1}^{2 \sqrt{x}} \sqrt{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=x^{2}\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Informações fornecidas:
  • A função é o produto de x^{2} e de uma integral com limite superior dependente de x, sendo o limite inferior constante 1.
  • O integrando é \sqrt{t^{2}+1}, função contínua em t para todo t, então as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo valem.
  • Objetivo: calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Regra do produto (lembrando e explicando): se \,h(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui vamos identificar
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Então a primeira parte da regra do produto já fica como u'(x)\,v(x)=2x\displaystyle\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt.

Passo 3

Derivada da integral com limite superior variável (Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia): se
V(x)=\int_{a}^{g(x)}F(t)\,dt,
com F contínua e g diferenciável, então
V'(x)=F\big(g(x)\big)\,g'(x).
Explicação em palavras: a derivada em relação a x da integral até g(x) é o valor do integrando no ponto t=g(x) multiplicado pela derivada do próprio limite g(x). Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}\int_{1}^{x}\sqrt{t^{2}+1}\,dt=\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 4

Aplique a fórmula ao nosso v(x). Aqui F(t)=\sqrt{t^{2}+1} e g(x)=2\sqrt{x}. Logo
v'(x)=\sqrt{\big(2\sqrt{x}\big)^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}\big(2\sqrt{x}\big).
Calcule passo a passo o que aparece:
\big(2\sqrt{x}\big)^{2}=4x, \qquad\text{portanto}\qquad \sqrt{\big(2\sqrt{x}\big)^{2}+1}=\sqrt{4x+1}.
Agora \dfrac{d}{dx}\big(2\sqrt{x}\big): escreva \sqrt{x}=x^{1/2}, então
\frac{d}{dx}\big(2x^{1/2}\big)=2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Portanto
v'(x)=\sqrt{4x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Volte à regra do produto e junte tudo:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo os termos que já achamos:
f'(x)=2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{2}\cdot\frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}}.
Simplifique o segundo termo: x^{2}/\sqrt{x}=x^{2}\cdot x^{-1/2}=x^{3/2}. Assim
f'(x)=2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{3/2}\sqrt{4x+1}.

Resposta

f'(x)=2x\int_{1}^{2\sqrt{x}}\sqrt{t^{2}+1}\,dt + x^{3/2}\sqrt{4x+1}

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