Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações fornecidas:
- A função é o produto de
e de uma integral com limite superior dependente de , sendo o limite inferior constante . - O integrando é
, função contínua em para todo , então as hipóteses do Teorema Fundamental do Cálculo valem. - Objetivo: calcular
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Regra do produto (lembrando e explicando): se
, então a derivada é
Aqui vamos identificar
Calcule
:
Então a primeira parte da regra do produto já fica como
.
Passo 3
Derivada da integral com limite superior variável (Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia): se
com
contínua e
diferenciável, então
Explicação em palavras: a derivada em relação a
da integral até
é o valor do integrando no ponto
multiplicado pela derivada do próprio limite
. Exemplo simples:
.
Passo 4
Aplique a fórmula ao nosso
. Aqui
e
. Logo
Calcule passo a passo o que aparece:
Agora
: escreva
, então
Portanto
Passo 5
Volte à regra do produto e junte tudo:
Substituindo os termos que já achamos:
Simplifique o segundo termo:
. Assim