Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O integrando é
. - O limite inferior da integral é a constante
. - O limite superior da integral é a função
. - Há presença do valor absoluto
, o que exige tratamento por partes (os sinais de importam). - Devemos observar possíveis problemas quando
, pois não é definida em (mas a integral imprópria converge).
O que será calculado:
para os
em que a derivada existe (vamos expor a forma geral e os casos).
Passo 2
Primeiro, lembrança útil (fórmula / aula rápida): a primitiva de
.
Calculemos a integral indefinida
Usa-se integração por partes com
e
. Então
e
. Aplicando a fórmula
obtém-se
Portanto a primitiva é
Passo 3
Aplicando essa primitiva aos limites da integral, temos uma expressão explícita para
em termos de
(válida para
):
Como
, simplifica-se para
Essa forma é útil para derivar
por diferenciação direta (regra da cadeia), lembrando que a expressão foi obtida usando a primitiva de
.
Passo 4
Agora calculemos a derivada usando a regra da cadeia. Defina
e
. Observa-se que
para
(isto vem da derivação de
:
).
Pelo teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia, para
e
diferenciável:
No nosso caso
. Então, para os pontos onde
(ou seja, onde
e
é diferenciável), temos
Passo 5
Precisamos agora da derivada de
. Lembrete didático sobre derivada do valor absoluto: se
é diferenciável e
, então
onde
é a função sinal,
se
e
se
.
Aplicando a isso com
(e lembrando que
), para
temos
Passo 6
Substituindo na expressão de
do Passo 4, para
obtemos
Essa é uma forma compacta e correta em todos os pontos onde
.
Também podemos escrever a resposta de maneira piecewise (útil para a prova), separando os casos
e
:
- Se
(isto é, em intervalos como ), então e . Logo
- Se
(isto é, ), então e . Logo
Passo 7
Sobre os pontos em que
(ou seja,
,
): nesses pontos
. Há dois problemas que impedem aplicação direta da fórmula de derivação:
- A função
não é definida em , então a derivada por não existe em . - A função
tem canto (não é diferenciável) em porque perto de .
Portanto, a derivada
não existe em
.
Resposta
A derivada não existe em
,
.