Nos exercícios 12 a 16, derive a função dada.
F(x)=\int_{1}^{|\operatorname{sen} x|} \ln t d t

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\int_{1}^{|\sin x|} \ln t \, dt
e pede a derivada F'(x).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O integrando é \ln t.
  • O limite inferior da integral é a constante 1.
  • O limite superior da integral é a função u(x)=|\sin x|.
  • Há presença do valor absoluto |\sin x|, o que exige tratamento por partes (os sinais de \sin x importam).
  • Devemos observar possíveis problemas quando |\sin x|=0, pois \ln t não é definida em t=0 (mas a integral imprópria \int_0^1 \ln t\,dt converge).
O que será calculado: F'(x) para os x em que a derivada existe (vamos expor a forma geral e os casos).

Passo 2

Primeiro, lembrança útil (fórmula / aula rápida): a primitiva de \ln t.
Calculemos a integral indefinida
\int \ln t \, dt.
Usa-se integração por partes com u=\ln t e dv=dt. Então du=\dfrac{1}{t}dt e v=t. Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du obtém-se
\int \ln t \, dt = t\ln t - \int t\cdot \frac{1}{t}\,dt = t\ln t - \int 1\,dt = t\ln t - t + C.
Portanto a primitiva é
\int \ln t \, dt = t\ln t - t + C.

Passo 3

Aplicando essa primitiva aos limites da integral, temos uma expressão explícita para F(x) em termos de u(x)=|\sin x| (válida para u(x)>0):
F(x)=\Big[ t\ln t - t \Big]_{t=1}^{t=|\sin x|} = |\sin x| \ln\big(|\sin x|\big) - |\sin x| - \big(1\ln 1 - 1\big).
Como \ln 1=0, simplifica-se para
F(x)=|\sin x|\ln\big(|\sin x|\big) - |\sin x| + 1.
Essa forma é útil para derivar F por diferenciação direta (regra da cadeia), lembrando que a expressão foi obtida usando a primitiva de \ln t.

Passo 4

Agora calculemos a derivada usando a regra da cadeia. Defina u(x)=|\sin x| e g(u)=u\ln u - u + 1. Observa-se que g'(u)=\ln u para u>0 (isto vem da derivação de u\ln u - u: 1\cdot\ln u + u\cdot\frac{1}{u} - 1 = \ln u).
Pelo teorema fundamental do cálculo combinado com a regra da cadeia, para u(x)>0 e u diferenciável:
F'(x) = g'(u(x))\cdot u'(x) = \ln\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=|\sin x|. Então, para os pontos onde \sin x \neq 0 (ou seja, onde |\sin x|>0 e |\sin x| é diferenciável), temos
F'(x)=\ln\big(|\sin x|\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(|\sin x|\big).

Passo 5

Precisamos agora da derivada de u(x)=|\sin x|. Lembrete didático sobre derivada do valor absoluto: se h(x) é diferenciável e h(x)\neq 0, então
\frac{d}{dx}|h(x)| = \operatorname{sgn}(h(x))\cdot h'(x),
onde \operatorname{sgn}(y) é a função sinal, \operatorname{sgn}(y)=1 se y>0 e \operatorname{sgn}(y)=-1 se y<0.
Aplicando a isso com h(x)=\sin x (e lembrando que (\sin x)'=\cos x), para \sin x\neq 0 temos
\frac{d}{dx}\big(|\sin x|\big)=\operatorname{sgn}(\sin x)\cdot \cos x.

Passo 6

Substituindo na expressão de F'(x) do Passo 4, para \sin x\neq 0 obtemos
F'(x)=\ln\big(|\sin x|\big)\cdot \operatorname{sgn}(\sin x)\cdot \cos x.
Essa é uma forma compacta e correta em todos os pontos onde \sin x\neq 0.
Também podemos escrever a resposta de maneira piecewise (útil para a prova), separando os casos \sin x>0 e \sin x<0:
  • Se \sin x>0 (isto é, em intervalos como x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)), então |\sin x|=\sin x e \operatorname{sgn}(\sin x)=1. Logo
F'(x)=\ln(\sin x)\cdot \cos x.
  • Se \sin x<0 (isto é, x\in((2k+1)\pi,(2k+2)\pi)), então |\sin x|=-\sin x e \operatorname{sgn}(\sin x)=-1. Logo
F'(x)=-\ln(-\sin x)\cdot \cos x.

Passo 7

Sobre os pontos em que \sin x=0 (ou seja, x=k\pi, k\in\mathbb{Z}): nesses pontos |\sin x|=0. Há dois problemas que impedem aplicação direta da fórmula de derivação:
  1. A função \ln t não é definida em t=0, então a derivada por g'(u)=\ln u não existe em u=0.
  2. A função u(x)=|\sin x| tem canto (não é diferenciável) em x=k\pi porque perto de k\pi |\sin x|\approx |x-k\pi|.
Portanto, a derivada F'(x) não existe em x=k\pi.

Resposta

\displaystyle F'(x)=\ln\big(|\sin x|\big)\,\operatorname{sgn}(\sin x)\,\cos x\quad\text{para }\sin x\neq 0
\displaystyle F'(x)=\ln(\sin x)\cos x\quad\text{se }\sin x>0
\displaystyle F'(x)=-\ln(-\sin x)\cos x\quad\text{se }\sin x<0
A derivada não existe em x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.

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