Nos exercícios 12 a 16, determinar as derivadas parcia partial zpartial u e partial zpartial v, usando a regra da cadeia.
z=ln (x^2+y^2), x=cos u cos v, y=sen u cos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia. A função que temos é $ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $, onde $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para derivadas parciais. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $, então:
z
E de forma similar para x .

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial x e partial zpartial y.
Para $ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $:
z = ln(x^2 + y^2)
partial zpartial x = 2xx^2 + y^2
Isso vem da derivada da função logarítmica e da regra da cadeia.

Passo 4

Agora, vamos achar partial xpartial u, partial xpartial v, partial ypartial u e partial ypartial v.
Dadas as funções:
x = cos u cos v Rightarrow partial xpartial u = -sin u cos v e partial xpartial v = -cos u sin v
y = sin u cos v Rightarrow partial ypartial u = cos u cos v e partial ypartial v = -sin u sin v

Passo 5

Vamos agora montar as expressões completas para partial zpartial u e partial zpartial v usando a regra da cadeia.
Para partial zpartial u:
partial zpartial u = 2xx^2 + y^2 cdot (-sin u cos v) + 2yx^2 + y^2 cdot (cos u cos v)
Para partial zpartial v:
partial zpartial v = 2xx^2 + y^2 cdot (-cos u sin v) + 2yx^2 + y^2 cdot (-sin u sin v)

Passo 6

Vamos simplificar essas expressões. Observe que $ x^{2} + y^{2} = (\cos u \cos v)^2 + (\sin u \cos v)^2 = \cos^{2} v (\cos^{2} u + \sin^{2} u) = \cos^{2} v $, já que x^2 + y^2 = (cos u cos v)^2 + (sin u cos v)^2 = cos^2 v (cos^2 u + sin^2 u) = cos^2 v .
Então, $ x^{2} + y^{2} = \cos^{2} v $.

Passo 7

Substituindo isso nas derivadas:
Para partial zpartial u:
partial zpartial u = 2xcos^2 v cdot (-sin u cos v) + 2ycos^2 v cdot (cos u cos v)
Simplificando:
partial zpartial u = 2x (-sin u cos v) + 2y (cos u cos v)cos^2 v
Mas lembrando que $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $, substituímos:
x = cos u cos v

Passo 8

Perceba que os dois termos no numerador se cancelam:
2 (cos u cos v)(-sin u cos v) + 2 (sin u cos v)(cos u cos v) = 0
Portanto:
partial zpartial u = 0cos^2 v = 0

Passo 9

Vamos agora calcular partial zpartial v:
partial zpartial v = 2xcos^2 v cdot (-cos u sin v) + 2ycos^2 v cdot (-sin u sin v)
Substituindo $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $:
x = cos u cos v

Passo 10

Simplificando o numerador:
2 (cos u cos v)(-cos u sin v) + 2 (sin u cos v)(-sin u sin v) = -2 cos^2 u cos v sin v - 2 sin^2 u cos v sin v
Fatorando:
= -2 cos v sin v (cos^2 u + sin^2 u)
Como cos^2 u + sin^2 u = 1, fica:
= -2 cos v sin v
Portanto:
partial zpartial v = -2 cos v sin vcos^2 v = -2 sin vcos v = -2 tan v

Resposta

A derivada parcial de $ z $ em relação a $ u $ é $ \frac{\partial z}{\partial u} = 0 $ e a derivada parcial de $ z $ em relação a $ v $ é $ \frac{\partial z}{\partial v} = -2 \tan v $.

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