Nos exercícios 12 a 16, determinar as derivadas parcia
e
, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais
e
usando a regra da cadeia. A função que temos é $ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $, onde $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra da cadeia para derivadas parciais. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $, então:
E de forma similar para
.
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Para $ z = \ln(x^{2} + y^{2}) $:
Isso vem da derivada da função logarítmica e da regra da cadeia.
Passo 4
Agora, vamos achar
,
,
e
.
Dadas as funções:
Passo 5
Vamos agora montar as expressões completas para
e
usando a regra da cadeia.
Para
:
Para
:
Passo 6
Vamos simplificar essas expressões. Observe que $ x^{2} + y^{2} = (\cos u \cos v)^2 + (\sin u \cos v)^2 = \cos^{2} v (\cos^{2} u + \sin^{2} u) = \cos^{2} v $, já que
.
Então, $ x^{2} + y^{2} = \cos^{2} v $.
Passo 7
Substituindo isso nas derivadas:
Para
:
Simplificando:
Mas lembrando que $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $, substituímos:
Passo 8
Perceba que os dois termos no numerador se cancelam:
Portanto:
Passo 9
Vamos agora calcular
:
Substituindo $ x = \cos u \cos v $ e $ y = \sin u \cos v $:
Passo 10
Simplificando o numerador:
Fatorando:
Como
, fica:
Portanto:
Resposta
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ u $ é $ \frac{\partial z}{\partial u} = 0 $ e a derivada parcial de $ z $ em relação a $ v $ é $ \frac{\partial z}{\partial v} = -2 \tan v $.