Encontre a fórmula para a
-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série
1 – 2 + 4 – 8 + ⋯ + (–1){n–1}2{n–1} + ⋯
que é uma série geométrica. Precisamos achar a expressão da soma parcial S_n e verificar se a soma infinita converge.
1 – 2 + 4 – 8 + ⋯ + (–1){n–1}2{n–1} + ⋯
que é uma série geométrica. Precisamos achar a expressão da soma parcial S_n e verificar se a soma infinita converge.
Passo 2
Identificar parâmetros da série geométrica. O primeiro termo é a = 1 e a razão é r = –2. Sabemos que a soma parcial de uma série geométrica é dada por
Passo 3
Aplicar os valores de a e r na fórmula da soma parcial. Substituindo a = 1 e r = –2 temos
Passo 4
Analisar a convergência da série infinita. Uma série geométrica converge se |r|<1. Aqui |r| = 2 > 1, logo
não existe e a série diverge.
Resposta
S_n =
. A série diverge e não possui soma finita.