Encontre a fórmula para a n-ésima soma parcial de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
1-2+4-8+cdots+(-1)^n-1 2^n-1+cdots

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série
1 – 2 + 4 – 8 + ⋯ + (–1){n–1}2{n–1} + ⋯
que é uma série geométrica. Precisamos achar a expressão da soma parcial S_n e verificar se a soma infinita converge.

Passo 2

Identificar parâmetros da série geométrica. O primeiro termo é a = 1 e a razão é r = –2. Sabemos que a soma parcial de uma série geométrica é dada por
Sn = al(1 - r^nr)1 - r

Passo 3

Aplicar os valores de a e r na fórmula da soma parcial. Substituindo a = 1 e r = –2 temos
Sn = 1 - (-2)^n1 - (-2) = 1 - (-2)^n3

Passo 4

Analisar a convergência da série infinita. Uma série geométrica converge se |r|<1. Aqui |r| = 2 > 1, logo limntoinftySn não existe e a série diverge.

Resposta

S_n = 1 - (-2)^n3. A série diverge e não possui soma finita.

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