Nos exercícios 12 a 16, determinar as derivadas parciais
\frac{\partial z}{\partial u}
e
\frac{\partial z}{\partial v}
, usando a regra da cadeia.
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), x=\cos u \cos v, y=\operatorname{sen} u \cos v.

Passo 1

O enunciado fornece as expressões e pede duas derivadas parciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dado:
z=\ln\left(x^{2}+y^{2}\right)
x=\cos u\cos v
y=\sin u\cos v
Pede-se:
\frac{\partial z}{\partial u} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial z}{\partial v}

Passo 2

Primeiro passo técnico: vou calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Isso é útil porque a regra da cadeia multivariável diz que
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}.
Agora calculo \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Como \;z=\ln\big(x^{2}+y^{2}\big), uso a derivada da função logaritmo e a regra da cadeia (uma variável interna x^{2}+y^{2}):
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big)
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.
De maneira análoga,
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}.
Explicação didática rápida: para \ln(\text{algo}), a derivada é 1/(\text{algo}) multiplicada pela derivada do “algo”. Aqui o “algo” é x^{2}+y^{2}, cuja derivada parcial em relação a x é 2x, em relação a y é 2y.

Passo 3

Agora calculo as derivadas parciais de x e y em relação a u e a v. Lembre-se das derivadas trigonométricas: \frac{d}{du}\cos u=-\sin u e \frac{d}{du}\sin u=\cos u.
Como x=\cos u\cos v, tratando v como constante quando derivamos em relação a u:
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(\cos u\cos v\big)=-\sin u\cos v.
Como y=\sin u\cos v,
\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(\sin u\cos v\big)=\cos u\cos v.
Agora derivadas em relação a v (agora u é constante). Para x:
\frac{\partial x}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\big(\cos u\cos v\big)=\cos u\cdot(-\sin v)=-\cos u\sin v.
Para y:
\frac{\partial y}{\partial v}=\frac{\partial}{\partial v}\big(\sin u\cos v\big)=\sin u\cdot(-\sin v)=-\sin u\sin v.

Passo 4

Agora monto \frac{\partial z}{\partial u} pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot\big(-\sin u\cos v\big)+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot\big(\cos u\cos v\big).
Coloco em evidência \frac{2\cos v}{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2\cos v}{x^{2}+y^{2}}\big(-x\sin u + y\cos u\big).

Passo 5

Agora substituo x e y pelas suas expressões em termos de u,v. Lembrando que x=\cos u\cos v e y=\sin u\cos v, o denominador simplifica:
x^{2}+y^{2}=(\cos u\cos v)^{2}+(\sin u\cos v)^{2}=\cos^{2}v\big(\cos^{2}u+\sin^{2}u\big)=\cos^{2}v.
No numerador interno temos
-x\sin u + y\cos u = -(\cos u\cos v)\sin u + (\sin u\cos v)\cos u = \cos v\big(-\cos u\sin u + \sin u\cos u\big)=0.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{2\cos v}{\cos^{2}v}\cdot 0 = 0.
Interpretação curta: z não varia com u porque geometricamente x^{2}+y^{2}=\cos^{2}v não depende de u.

Passo 6

Agora calculo \frac{\partial z}{\partial v} pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}\cdot\big(-\cos u\sin v\big)+\frac{2y}{x^{2}+y^{2}}\cdot\big(-\sin u\sin v\big).
Coloco em evidência \frac{-2\sin v}{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{-2\sin v}{x^{2}+y^{2}}\big(x\cos u + y\sin u\big).

Passo 7

Calculo x\cos u + y\sin u substituindo x e y:
x\cos u + y\sin u = (\cos u\cos v)\cos u + (\sin u\cos v)\sin u = \cos v(\cos^{2}u+\sin^{2}u)=\cos v.
Então
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{-2\sin v}{x^{2}+y^{2}}\cdot\cos v=\frac{-2\sin v\cos v}{x^{2}+y^{2}}.
Usando novamente x^{2}+y^{2}=\cos^{2}v, obtemos
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{-2\sin v\cos v}{\cos^{2}v}=-2\frac{\sin v}{\cos v}=-2\tan v.
Observação alternativa (checagem): se substituirmos direto em z,
z=\ln(x^{2}+y^{2})=\ln(\cos^{2}v)=2\ln|\cos v|,
então \partial z/\partial u=0 e \partial z/\partial v=2\cdot(-\sin v/\cos v)=-2\tan v, que coincide com o resultado acima.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial u}=0
\frac{\partial z}{\partial v}=-2\tan v

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