Nos exercícios 12 a 16, determinar as derivadas parciais
e
, usando a regra da cadeia.
.
Passo 1
O enunciado fornece as expressões e pede duas derivadas parciais. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
Dado:
Pede-se:
Passo 2
Primeiro passo técnico: vou calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso é útil porque a regra da cadeia multivariável diz que
Agora calculo
e
. Como
, uso a derivada da função logaritmo e a regra da cadeia (uma variável interna
):
De maneira análoga,
Explicação didática rápida: para
, a derivada é
multiplicada pela derivada do “algo”. Aqui o “algo” é
, cuja derivada parcial em relação a
é
, em relação a
é
.
Passo 3
Agora calculo as derivadas parciais de
e
em relação a
e a
. Lembre-se das derivadas trigonométricas:
e
.
Como
, tratando
como constante quando derivamos em relação a
:
Como
,
Agora derivadas em relação a
(agora
é constante). Para
:
Para
:
Passo 4
Agora monto
pela regra da cadeia:
Coloco em evidência
:
Passo 5
Agora substituo
e
pelas suas expressões em termos de
. Lembrando que
e
, o denominador simplifica:
No numerador interno temos
Portanto
Interpretação curta:
não varia com
porque geometricamente
não depende de
.
Passo 6
Agora calculo
pela regra da cadeia:
Coloco em evidência
:
Passo 7
Calculo
substituindo
e
:
Então
Usando novamente
, obtemos
Observação alternativa (checagem): se substituirmos direto em
,
então
e
, que coincide com o resultado acima.