Suponha que f é uma função ímpar em \mathrm{C}([-a, a]) ( isto é, que f(-x)-f(x)) e que f(0)=f^{\prime}(0)=0. Mostre que W[f(x),|f(x)|]=0 para todo x \in[-a, a], mas que f e |f| são linearmente independentes em \mathrm{C}^{1}([-a, a]) a menos que f seja identicamente nula.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • f é ímpar, ou seja, para todo x\in[-a,a] vale f(-x)=-f(x).
  • f é diferenciável (visto que aparece f'(0)) e no ponto 0 temos f(0)=0 e f'(0)=0.
O que é pedido:
  1. Mostrar que o wronskiano de f e |f|,
W[f,|f|](x)=f(x)\,\bigl(|f|(x)\bigr)'-f'(x)\,|f(x)|,
é igual a 0 para todo x\in[-a,a].
2. Mostrar que f e |f| são linearmente independentes em C^{1}([-a,a]), a menos que f seja identicamente nula.
Observação: vou tratar separadamente os pontos onde f(x)\neq0 (onde |f| tem derivada fácil) e o ponto x=0 (onde precisamos usar a hipótese f'(0)=0).

Passo 2

Primeiro lembro a definição que vamos usar: o wronskiano de duas funções u e v é
W[u,v](x)=u(x)\,v'(x)-u'(x)\,v(x).
Aqui aplicamos com u=f e v=|f|. A estratégia é calcular \bigl(|f|\bigr)'(x) quando possível e substituir na expressão acima.

Passo 3

Cálculo do wronskiano em pontos onde f(x)\neq0.
Se f(x)\neq 0 então, por cálculo elementar de derivada da composição com o valor absoluto,
\bigl(|f|\bigr)'(x)=\operatorname{sgn}\bigl(f(x)\bigr)\,f'(x),
onde \operatorname{sgn}(t)=1 se t>0 e \operatorname{sgn}(t)=-1 se t<0.
Explicando isso rapidinho: para f(x)>0 temos |f(x)|=f(x) então derivada é f'(x); para f(x)<0 temos |f(x)|=-f(x) então derivada é -f'(x). Em ambos os casos a fórmula com \operatorname{sgn} vale.
Agora substituímos no wronskiano, para x tal que f(x)\neq0:
\begin{aligned} W[f,|f|](x) &=f(x)\,\bigl(\operatorname{sgn}(f(x))\,f'(x)\bigr)-f'(x)\,|f(x)|\\[4pt] &=\operatorname{sgn}(f(x))\,f(x)\,f'(x)-f'(x)\,|f(x)|. \end{aligned}
Mas, para f(x)\neq0, vale |f(x)|=\operatorname{sgn}(f(x))\,f(x). Logo os dois termos se anulam e obtemos
W[f,|f|](x)=0\quad\text{quando }f(x)\neq0.]

Passo 4

Cálculo do wronskiano no ponto x=0.
Precisamos verificar que |f| é diferenciável em 0 e calcular \bigl(|f|\bigr)'(0). Usamos a hipótese de diferenciabilidade de f em 0 e que f(0)=f'(0)=0.
Pela definição de derivada de f em 0 temos a expansão
f(h)=f'(0)\,h+o(h)=o(h)\quad\text{quando }h\to0,
pois f'(0)=0. Então
\frac{|f(h)|-|f(0)|}{h}=\frac{|f(h)|}{h}=\left|\frac{f(h)}{h}\right|\xrightarrow[h\to0]{}0.
Portanto |f| é diferenciável em 0 e
\bigl(|f|\bigr)'(0)=0.
Agora calculamos o wronskiano em 0:
W[f,|f|](0)=f(0)\,\bigl(|f|\bigr)'(0)-f'(0)\,|f(0)|=0\cdot 0 - 0\cdot 0=0.

Passo 5

Conclusão sobre o wronskiano.
Juntando os passos anteriores, para todo x\in[-a,a] em que |f| é diferenciável temos W[f,|f|](x)=0. Em particular mostramos explicitamente que isso vale para todos os pontos com f(x)\neq0 e também vale em x=0. Assim, sob as hipóteses dadas (diferençiabilidade de f e f'(0)=0), o wronskiano é identicamente zero no intervalo:
W[f,|f|](x)=0\quad\text{para todo }x\in[-a,a].

Passo 6

Provar que [f) e |f| são linearmente independentes em C^{1}([-a,a]), a menos que f\equiv0.
Lembre do que significa ser linearmente dependentes: existem constantes c_1,c_2, não ambas nulas, tais que
c_1 f(x)+c_2 |f(x)|\equiv 0\quad\text{para todo }x\in[-a,a].
Queremos mostrar que isso força f\equiv0 ou então c_1=c_2=0.
Suponha que f não seja identicamente zero. Como f é ímpar e contínua, se existe um ponto x_0 com f(x_0)>0 então f(-x_0)=-f(x_0)<0. Ou seja, uma função ímpar não-nula assume valores positivos e negativos no intervalo (pega x_0 com f(x_0)\neq0). Assim existem pontos x_+ com f(x_+)>0 e x_- com f(x_-)<0.
Avalie a relação c_1 f+c_2|f|=0 em x_+. Como f(x_+)>0 temos |f(x_+)|=f(x_+), logo
(c_1+c_2)f(x_+)=0 \implies c_1+c_2=0.
Avalie em x_-. Como f(x_-)<0 temos |f(x_-)|=-f(x_-), logo
(c_1-c_2)f(x_-)=0 \implies c_1-c_2=0.
O sistema
\begin{cases} c_1+c_2=0,\\[4pt] c_1-c_2=0 \end{cases}
implica c_1=c_2=0\]. Portanto não existem constantes \(c_1,c_2 não triviais que façam a combinação linear zero; isto é, f e |f| são linearmente independentes.
Se, por outro lado, f\equiv0, então |f|\equiv0 e são trivialmente linearmente dependentes. Assim la conclusão fica completa.]

Resposta

W[f,|f|](x)=0 para todo x\in[-a,a].\n f e |f| são linearmente independentes em C^{1}([-a,a]), a menos que f seja identicamente nula.

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