Mostre que
W\left[e^{a_{1} x}, \ldots, e^{a_{n} x}\right]=e^{\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) x} \cdot\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma identidade envolvendo o Wronskiano das funções \,e^{a_{1}x},\ldots,e^{a_{n}x}\,.
Informações dadas que vamos usar:
\text{as funções }f_j(x)=e^{a_j x}\quad\text{para }j=1,\dots,n,çõ
onde \,a_1,\dots,a_n\, são constantes (podem ser reais ou complexas).
A tarefa é relacionar o Wronskiano dessas funções com o determinante da matriz cujas colunas são \left[1,a_j,a_j^2,\dots,a_j^{n-1}\right]^T multiplicado por um fator exponencial.

Passo 2

Primeiro, lembro claramente o que é o Wronskiano: para funções f_1,\dots,f_n o Wronskiano W[f_1,\dots,f_n](x) é o determinante da matriz cujas colunas são as funções e suas derivadas até a ordem n-1. Em notação,
W[f_1,\dots,f_n](x)=\det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x)\\[4pt] f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n'(x)\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculo as derivadas de cada função f_j(x)=e^{a_j x}. A regra é simples: derivada de e^{a_j x} em relação a x traz um fator a_j a cada diferenciação. Ou seja, para k\ge0,
f_j^{(k)}(x)=a_j^{k}\,e^{a_j x}.
Explicação rápida: para k=1 é a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{a_j x}=a_j e^{a_j x}. Pelo princípio da indução, cada nova derivada multiplica por mais um fator a_j, produzindo a_j^k e^{a_j x}.

Passo 4

Usando essa expressão das derivadas, escrevo a matriz do Wronskiano cujas entradas na linha i e coluna j valem f_j^{(i-1)}(x)=a_j^{\,i-1} e^{a_j x}. Assim a matriz é
\begin{pmatrix} a_1^0 e^{a_1 x} & a_2^0 e^{a_2 x} & \cdots & a_n^0 e^{a_n x}\\[4pt] a_1^1 e^{a_1 x} & a_2^1 e^{a_2 x} & \cdots & a_n^1 e^{a_n x}\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] a_1^{n-1} e^{a_1 x} & a_2^{n-1} e^{a_2 x} & \cdots & a_n^{n-1} e^{a_n x} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora uso uma propriedade elementar dos determinantes: se uma coluna inteira tem um fator escalar comum, esse fator pode ser puxado para fora do determinante multiplicando-o. Aplicando isso coluna a coluna, da coluna j posso fatorar e^{a_j x}. Fazendo isso para cada uma das n colunas temos que o determinante (o Wronskiano) é igual ao produto desses fatores vezes o determinante da matriz sem os fatores exponenciais. Ou seja,
W\big[e^{a_1 x},\dots,e^{a_n x}\big](x)=\Big(\prod_{j=1}^n e^{a_j x}\Big)\cdot\det\begin{pmatrix} a_1^0 & a_2^0 & \cdots & a_n^0\\[4pt] a_1^1 & a_2^1 & \cdots & a_n^1\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Simplifico o produto das exponenciais: produto de exponenciais com o mesmo argumento x soma os expoentes. Logo
\prod_{j=1}^n e^{a_j x}=e^{(a_1+\cdots+a_n)x}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior, restará apenas o determinante da matriz de potências de a_j.

Passo 7

A matriz que ficou dentro do determinante é exatamente a matriz cujas colunas são \left[1,a_j,a_j^2,\dots,a_j^{n-1}\right]^T, isto é, a forma da matriz mostrada no enunciado (matriz de Vandermonde transposta). Portanto a identidade pedida está demonstrada.

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo rápido com n=2: as funções são e^{a_1 x} e e^{a_2 x}. O Wronskiano é
\det\begin{pmatrix} e^{a_1 x} & e^{a_2 x}\\[4pt] a_1 e^{a_1 x} & a_2 e^{a_2 x} \end{pmatrix}
e, fatorando e^{a_1 x} da primeira coluna e e^{a_2 x} da segunda, obtemos
e^{(a_1+a_2)x}\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] a_1 & a_2\end{pmatrix},
que é a fórmula geral no caso n=2. Isso confirma concretamente o procedimento usado.]

Resposta

W\left[e^{a_{1} x}, \ldots, e^{a_{n} x}\right]=e^{\left(a_{1}+\ldots+a_{n}\right) x}\cdot\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\[4pt] a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[4pt] a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{array}\right|]

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