onde \,a_1,\dots,a_n\, são constantes (podem ser reais ou complexas).
A tarefa é relacionar o Wronskiano dessas funções com o determinante da matriz cujas colunas são \left[1,a_j,a_j^2,\dots,a_j^{n-1}\right]^T multiplicado por um fator exponencial.
Passo 2
Primeiro, lembro claramente o que é o Wronskiano: para funções f_1,\dots,f_n o Wronskiano W[f_1,\dots,f_n](x) é o determinante da matriz cujas colunas são as funções e suas derivadas até a ordem n-1. Em notação,
Calculo as derivadas de cada função f_j(x)=e^{a_j x}. A regra é simples: derivada de e^{a_j x} em relação a x traz um fator a_j a cada diferenciação. Ou seja, para k\ge0,
f_j^{(k)}(x)=a_j^{k}\,e^{a_j x}.
Explicação rápida: para k=1 é a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}e^{a_j x}=a_j e^{a_j x}. Pelo princípio da indução, cada nova derivada multiplica por mais um fator a_j, produzindo a_j^k e^{a_j x}.
Passo 4
Usando essa expressão das derivadas, escrevo a matriz do Wronskiano cujas entradas na linha i e coluna j valem f_j^{(i-1)}(x)=a_j^{\,i-1} e^{a_j x}. Assim a matriz é
Agora uso uma propriedade elementar dos determinantes: se uma coluna inteira tem um fator escalar comum, esse fator pode ser puxado para fora do determinante multiplicando-o. Aplicando isso coluna a coluna, da coluna j posso fatorar e^{a_j x}. Fazendo isso para cada uma das n colunas temos que o determinante (o Wronskiano) é igual ao produto desses fatores vezes o determinante da matriz sem os fatores exponenciais. Ou seja,
Simplifico o produto das exponenciais: produto de exponenciais com o mesmo argumento x soma os expoentes. Logo
\prod_{j=1}^n e^{a_j x}=e^{(a_1+\cdots+a_n)x}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior, restará apenas o determinante da matriz de potências de a_j.
Passo 7
A matriz que ficou dentro do determinante é exatamente a matriz cujas colunas são \left[1,a_j,a_j^2,\dots,a_j^{n-1}\right]^T, isto é, a forma da matriz mostrada no enunciado (matriz de Vandermonde transposta). Portanto a identidade pedida está demonstrada.
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo rápido com n=2: as funções são e^{a_1 x} e e^{a_2 x}. O Wronskiano é