Suponha que
e
são subconjuntos de
. Mostre que:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em palavras simples):
- Temos um conjunto
e um subconjunto de (ou seja, ). - A notação
significa complemento relativo de em , isto é, os elementos de que não estão em . - O problema pede para mostrar a igualdade
Ou seja: o complemento (em
) do complemento (em
) de
é igual a
.
Passo 2
Definições e estratégia de prova (passo-a-passo):
- Definição do complemento relativo: para qualquer
,
- Para provar que dois conjuntos são iguais é conveniente provar duas inclusões:
-
. -
.
Se ambas valem, então os conjuntos são iguais.
-
Passo 3
Provar a primeira inclusão
:
- Pegue um elemento arbitrário
tal que
- Pela definição de complemento relativo isso significa
- A condição
é a negação de . Aplicando De Morgan em lógica, isso equivale a
- Como já sabemos que
, a parte “não ” é falsa, logo a disjunção só pode ser verdadeira se . - Concluímos que
. Como foi arbitrário, temos
Passo 4
Provar a segunda inclusão
:
- Pegue um elemento arbitrário
tal que . - Como
, segue que . - Além disso, se
então não é possível que satisfaça “ e ”. Portanto . - Assim
e , o que por definição significa . - Como
foi arbitrário, obtemos
Passo 5
Conclusão combinando as duas inclusões:
- De Passo 3 e Passo 4 temos ambas as inclusões
- Portanto, por definição de igualdade de conjuntos,
Passo 6
Uma prova alternativa rápida usando identidades de conjuntos (quem gosta de álgebra de conjuntos):
Usando que
(complemento no universo), segue
Passo 7
Exemplo concreto para fixar a ideia:
- Tome
e . - Então
. - E
.
Isto ilustra a identidade na prática.