Suponha que B e B^{\prime} são subconjuntos de A. Mostre que:
C_{A}\left(C_{A}(B)\right)=B.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (em palavras simples):
  • Temos um conjunto A e um subconjunto B de A (ou seja, B\subseteq A).
  • A notação C_{A}(X) significa complemento relativo de X em A, isto é, os elementos de A que não estão em X.
  • O problema pede para mostrar a igualdade
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=B.
Ou seja: o complemento (em A) do complemento (em A) de B é igual a B.

Passo 2

Definições e estratégia de prova (passo-a-passo):
  • Definição do complemento relativo: para qualquer X\subseteq A,
C_{A}(X)=A\setminus X=\{x\in A : x\notin X\}.
  • Para provar que dois conjuntos são iguais é conveniente provar duas inclusões:
    1. C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)\subseteq B.
    2. B\subseteq C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr).
      Se ambas valem, então os conjuntos são iguais.

Passo 3

Provar a primeira inclusão C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)\subseteq B:
  • Pegue um elemento arbitrário x tal que
x\in C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr).
  • Pela definição de complemento relativo isso significa
x\in A\quad\text{e}\quad x\notin C_{A}(B).
  • A condição x\notin C_{A}(B) é a negação de \bigl(x\in A\\ \text{e}\\ x\notin B\bigr). Aplicando De Morgan em lógica, isso equivale a
\text{(não }(x\in A))\\ \text{ou}\\ (x\in B).ã
  • Como já sabemos que x\in A, a parte “não (x\in A)” é falsa, logo a disjunção só pode ser verdadeira se x\in B.
  • Concluímos que x\in B. Como x foi arbitrário, temos
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)\subseteq B.

Passo 4

Provar a segunda inclusão B\subseteq C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr):
  • Pegue um elemento arbitrário x tal que x\in B.
  • Como B\subseteq A, segue que x\in A.
  • Além disso, se x\in B então não é possível que x satisfaça “ x\in A e x\notin B”. Portanto x\notin C_{A}(B).
  • Assim x\in A e x\notin C_{A}(B), o que por definição significa x\in C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr).
  • Como x foi arbitrário, obtemos
B\subseteq C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr).

Passo 5

Conclusão combinando as duas inclusões:
  • De Passo 3 e Passo 4 temos ambas as inclusões
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)\subseteq B \quad\text{e}\quad B\subseteq C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr).
  • Portanto, por definição de igualdade de conjuntos,
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=B.

Passo 6

Uma prova alternativa rápida usando identidades de conjuntos (quem gosta de álgebra de conjuntos):
C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=A\setminus(A\setminus B)=A\cap (A\setminus B)^{c}.
Usando que (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B (complemento no universo), segue
A\cap (A^{c}\cup B)=(A\cap A^{c})\cup (A\cap B)=\varnothing\cup B=B.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar a ideia:
  • Tome A=\{1,2,3\} e B=\{1,2\}.
  • Então C_{A}(B)=A\setminus B=\{3\}.
  • E C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=A\setminus\{3\}=\{1,2\}=B.
    Isto ilustra a identidade na prática.

Resposta

C_{A}\bigl(C_{A}(B)\bigr)=B

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