Mostre que, se
, então:
.
Passo 1
O enunciado dá a inclusão
e pede para mostrar que
Informações relevantes fornecidas:
-
significa que todo elemento de também pertence a . -
é o complemento de relativo a (ou seja, os elementos de que não estão em ).
A partir disso, o objetivo é provar que não existe nenhum elemento que pertença simultaneamente ae a .
Passo 2
Definição explícita do complemento relativo. Por definição,
Vou explicar essa definição com calma:
é o conjunto formado por todos os
que satisfazem duas condições ao mesmo tempo:
-
, -
.
Sempre que usar a expressãoou , lembrar dessas duas condições.
Passo 3
Estratégia de prova (direta por contradição simples). Uma forma clássica e curta é assumir que existe um elemento em
e mostrar que isso leva a uma contradição lógica. Vou fazer exatamente isso, explicando cada passo para que dê para reproduzir na prova.
Passo 4
Suponha, por absurdo, que exista
tal que
Pelo significado de interseção, isso equivale a ter simultaneamente
Mas, usando a definição de
do Passo 2,
implica
Assim, a suposição dá ao mesmo tempo
e
. Isso é uma contradição lógica (um elemento não pode pertencer e não pertencer ao mesmo conjunto ao mesmo tempo).
Passo 5
Como a hipótese de existência de
levou a uma contradição, concluímos que tal
não existe. Portanto
Interpretando: não há elementos em comum entre
e o complemento de
dentro de
, o que bate com a intuição básica de “complemento”.
Passo 6
Exemplo rápido para ajudar a fixar: seja
e
. Então
Logo
o que confirma o resultado no caso concreto. Na prova, a demonstração por contradição do Passo 4 é a forma direta e elegante de escrever.