Mostre que, se B \subset A, então:
B \cap C_{A}(B)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado dá a inclusão B \subset A e pede para mostrar que
B \cap C_{A}(B)=\emptyset.
Informações relevantes fornecidas:
  • B \subset A significa que todo elemento de B também pertence a A.
  • C_{A}(B) é o complemento de B relativo a A (ou seja, os elementos de A que não estão em B).
    A partir disso, o objetivo é provar que não existe nenhum elemento que pertença simultaneamente a B e a C_{A}(B).

Passo 2

Definição explícita do complemento relativo. Por definição,
C_{A}(B)=A\setminus B=\{\,x\in A \mid x\notin B\,\}.
Vou explicar essa definição com calma: C_{A}(B) é o conjunto formado por todos os x que satisfazem duas condições ao mesmo tempo:
  1. x\in A,
  2. x\notin B.
    Sempre que usar a expressão A\setminus B ou C_A(B), lembrar dessas duas condições.

Passo 3

Estratégia de prova (direta por contradição simples). Uma forma clássica e curta é assumir que existe um elemento em
B \cap C_{A}(B)
e mostrar que isso leva a uma contradição lógica. Vou fazer exatamente isso, explicando cada passo para que dê para reproduzir na prova.

Passo 4

Suponha, por absurdo, que exista x tal que
x\in B \cap C_{A}(B).
Pelo significado de interseção, isso equivale a ter simultaneamente
x\in B \quad\text{e}\quad x\in C_{A}(B).
Mas, usando a definição de C_{A}(B) do Passo 2, x\in C_{A}(B) implica
x\in A \quad\text{e}\quad x\notin B.
Assim, a suposição dá ao mesmo tempo x\in B e x\notin B. Isso é uma contradição lógica (um elemento não pode pertencer e não pertencer ao mesmo conjunto ao mesmo tempo).

Passo 5

Como a hipótese de existência de x\in B\cap C_A(B) levou a uma contradição, concluímos que tal x não existe. Portanto
B\cap C_{A}(B)=\emptyset.
Interpretando: não há elementos em comum entre B e o complemento de B dentro de A, o que bate com a intuição básica de “complemento”.

Passo 6

Exemplo rápido para ajudar a fixar: seja A=\{1,2,3\} e B=\{1,2\}. Então
C_A(B)=A\setminus B=\{3\}.
Logo
B\cap C_A(B)=\{1,2\}\cap\{3\}=\emptyset,
o que confirma o resultado no caso concreto. Na prova, a demonstração por contradição do Passo 4 é a forma direta e elegante de escrever.

Resposta

\,B\cap C_{A}(B)=\emptyset\,

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