Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível
, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
com cada uma das condições iniciais:
Passo 1
O enunciado contempla o problema de valor inicial
com duas possibilidades de condição inicial:
(a)
(b) .
O que se pede é verificar se podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) em cada caso e, quando for possível garantir unicidade, indicar o maior intervalo aberto contendo a abscissa da condição inicial em que a solução é única.
(a)
(b)
O que se pede é verificar se podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) em cada caso e, quando for possível garantir unicidade, indicar o maior intervalo aberto
Passo 2
O Teorema de Picard–Lindelöf exige que
seja contínua em
e Lipschitz em
numa vizinhança do ponto inicial. Como
vemos que
é contínua em todo
, mas
não existe (fica infinita) em
. Logo, em torno de qualquer ponto onde
,
é
e, portanto, Lipschitz em
. Em pontos com
, falta a condição de Lipschitz e não podemos garantir unicidade.
Passo 3
Caso (a):
também satisfaz
.
Portanto não há unicidade em
.]
Passo 4
Caso (b):
.
Aqui . Como
e
são contínuas numa região que contenha
, o Teorema de Picard garante existência e unicidade local. Para achar a solução explícita, separamos variáveis:
Aqui
Impondo
dá
Passo 5
A solução explícita é
Para que
, precisamos
No intervalo aberto que contenha
e fique todo no lado em que o fator é positivo, isto é
a solução permanece longe de
e, portanto,
é Lipschitz em
sobre qualquer retângulo nessa faixa. Assim, a unicidade vale para todo esse
, e não se pode estender além de
sem cruzar o ponto de singularidade em
.
Resposta
(a) Não se garante unicidade em
.
(b) Há unicidade, e o maior intervalo aberto contendo é
(b) Há unicidade, e o maior intervalo aberto contendo