Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
y^{\prime}=y^{2 / 3}, \quad y(0)=0 com cada uma das condições iniciais:
y(-1)=5

Passo 1

O enunciado contempla o problema de valor inicial
y' = y^{2/3}
com duas possibilidades de condição inicial:
(a) y(0)=0
(b) y(-1)=5.
O que se pede é verificar se podemos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) em cada caso e, quando for possível garantir unicidade, indicar o maior intervalo aberto I contendo a abscissa da condição inicial em que a solução é única.

Passo 2

O Teorema de Picard–Lindelöf exige que f(y)=y^{2/3} seja contínua em (x,y) e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial. Como
f(y)=y^{2/3} \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{3}\,y^{-1/3},
vemos que f é contínua em todo \mathbb{R}, mas \partial f/\partial y não existe (fica infinita) em y=0. Logo, em torno de qualquer ponto onde y\neq0, f é C^1 e, portanto, Lipschitz em y. Em pontos com y=0, falta a condição de Lipschitz e não podemos garantir unicidade.

Passo 3

Caso (a): y(0)=0\). Aqui \(y_0=0\) faz com que \(\partial f/\partial y\) seja singular, de modo que o teorema não assegura unicidade. De fato existem ao menos duas soluções com essa condição inicial: 1. A solução trivial \(y(x)\equiv0\). 2. Para qualquer constante \(C\ge0\), a família \[y(x)=\begin{cases} 0, & x\le C,\\[6pt] \displaystyle\Bigl(\frac{x-C}{3}\Bigr)^{3}, & x\ge C, \end{cases}
também satisfaz y'=y^{2/3}\] e \(y(0)=0.
Portanto não há unicidade em x=0.]

Passo 4

Caso (b): y(-1)=5.
Aqui y_0=5\neq0. Como f e \partial f/\partial y são contínuas numa região que contenha (x_0,y_0)=(-1,5), o Teorema de Picard garante existência e unicidade local. Para achar a solução explícita, separamos variáveis:
\frac{dy}{y^{2/3}}=dx \;\Longrightarrow\; 3\,y^{1/3}=x+C_1 \;\Longrightarrow\; y(x)=\Bigl(\tfrac{x+C_1}{3}\Bigr)^{3}.
Impondo y(-1)=5
5^{1/3}=\frac{-1+C_1}{3} \;\Longrightarrow\; C_1=1+3\,\sqrt[3]{5}.

Passo 5

A solução explícita é
y(x)=\Bigl(\tfrac{x+1+3\,\sqrt[3]{5}}{3}\Bigr)^{3}.
Para que y(x)\neq0, precisamos
\frac{x+1+3\,\sqrt[3]{5}}{3}\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq -1 - 3\,\sqrt[3]{5}.
No intervalo aberto que contenha x_0=-1 e fique todo no lado em que o fator é positivo, isto é
I=\bigl(-1-3\,\sqrt[3]{5},\,+\infty\bigr),
a solução permanece longe de y=0 e, portanto, f é Lipschitz em y sobre qualquer retângulo nessa faixa. Assim, a unicidade vale para todo esse I, e não se pode estender além de x=-1-3\,\sqrt[3]{5} sem cruzar o ponto de singularidade em y=0.

Resposta

(a) Não se garante unicidade em x=0.
(b) Há unicidade, e o maior intervalo aberto contendo -1 é
\bigl(-1 - 3\,\sqrt[3]{5},\,+\infty\bigr).

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