Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível
, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
com cada uma das condições iniciais:
Passo 1
O problema de valor inicial é
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de existência-únicidade de Picard–Lindelöf e o Teorema de existência de Peano.
Passo 2
Definimos
. Como
é contínua em
, em particular numa vizinhança de
, o Teorema de Peano garante existência de pelo menos uma solução em algum intervalo aberto que contém
.
Passo 3
Para unicidade seria preciso que
satisfizesse condição de Lipschitz em
perto de
. Calculamos
que não é finita nem contínua em
. Logo
não é Lipschitz em
ao redor de
, e o Teorema de Picard–Lindelöf não se aplica para garantir unicidade.
Passo 4
Concluímos que, apesar de existirem soluções, não podemos garantir que ela seja única.
Resposta
Não é possível garantir solução única para o problema de valor inicial dado.