Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
y^{\prime}=y^{2 / 3}, \quad y(0)=0 com cada uma das condições iniciais:
y(-3)=0

Passo 1

O problema de valor inicial é
y' = y^{2/3},\quad y(-3)=0.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de existência-únicidade de Picard–Lindelöf e o Teorema de existência de Peano.

Passo 2

Definimos f(x,y)=y^{2/3}. Como y^{2/3} é contínua em \mathbb{R}^2, em particular numa vizinhança de (-3,0), o Teorema de Peano garante existência de pelo menos uma solução em algum intervalo aberto que contém x_0=-3.

Passo 3

Para unicidade seria preciso que f satisfizesse condição de Lipschitz em y perto de y=0. Calculamos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2}{3}\,y^{-1/3},
que não é finita nem contínua em y=0. Logo f não é Lipschitz em y ao redor de (x_0,y_0), e o Teorema de Picard–Lindelöf não se aplica para garantir unicidade.

Passo 4

Concluímos que, apesar de existirem soluções, não podemos garantir que ela seja única.

Resposta

Não é possível garantir solução única para o problema de valor inicial dado.

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