Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
x y^{\prime}+y=3, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x\,y' + y = 3,\quad y(0)=1
e pede para verificar se o Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade) se aplica. Precisamos escrever a EDO em forma normal y'=f(x,y) e checar onde f e \partial f/\partial y são contínuas num retângulo que contenha x_{0}=0.

Passo 2

Colocando em forma normal:
y' = \frac{3 - y}{x}.
Aqui
f(x,y) = \frac{3 - y}{x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac1{x}.
Ambas as funções envolvem divisão por x e, portanto, não são definidas nem contínuas em x=0.

Passo 3

Como não existe nenhum intervalo aberto contendo x=0 em que f e \partial f/\partial y sejam contínuas, o Teorema de existência e unicidade não pode ser aplicado em torno de x=0.

Resposta

Não é possível garantir solução única; logo, não há intervalo aberto I contendo 0 em que se assegure existência e unicidade.

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