Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível
, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
com cada uma das condições iniciais:
Passo 1
O problema é a equação diferencial
com duas condições iniciais a verificar separadamente:
-
-
Para garantir existência e unicidade de solução pelo Teorema de Picard‐Lindelöf precisamos queseja contínua em e Lipschitz em numa vizinhança da condição inicial, ou seja, que exista e seja contínua lá.
Passo 2
Análise em torno de
.
-
é contínua em , mas
não está definida (nem é limitada) em
.
- Logo
não é Lipschitz em nenhuma vizinhança que contenha .
Conclusão: não se pode garantir unicidade da solução para.
Passo 3
Análise em torno de
.
- Em
a função é contínua e
é contínua (limitada) numa vizinhança de
.
- Logo
é Lipschitz em perto de e o Teorema de Picard‐Lindelöf garante existência e unicidade de solução. - A solução explícita é, separando variáveis,
Impondo
obtém-se
. Essa expressão vale para todo
.
Resposta
Para a condição
: não há garantia de solução única.
Para a condição : existe única solução, definida em todo o eixo real, isto é, no maior intervalo aberto
que contém
.
Para a condição