Nos exercícios 8 a 12 diga se é possível garantir que o problema de valor inicial admite solução única. Quando admitir solução única, dê o maior intervalo admissível I, I aberto, que contém a abscissa da condição inicial.
y^{\prime}=y^{2 / 3}, \quad y(0)=0 com cada uma das condições iniciais:
y(1)=7

Passo 1

O problema é a equação diferencial
y'=y^{2/3}
com duas condições iniciais a verificar separadamente:
  1. y(0)=0
  2. y(1)=7
    Para garantir existência e unicidade de solução pelo Teorema de Picard‐Lindelöf precisamos que f(y)=y^{2/3} seja contínua em y e Lipschitz em y numa vizinhança da condição inicial, ou seja, que \partial f/\partial y exista e seja contínua lá.

Passo 2

Análise em torno de y(0)=0.
  • f(y)=y^{2/3} é contínua em y=0, mas
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{3}\,y^{-1/3}
não está definida (nem é limitada) em y=0.
  • Logo f não é Lipschitz em nenhuma vizinhança que contenha y=0.
    Conclusão: não se pode garantir unicidade da solução para y(0)=0.

Passo 3

Análise em torno de y(1)=7.
  • Em y=7 a função f(y)=y^{2/3} é contínua e
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2}{3}\,y^{-1/3}
é contínua (limitada) numa vizinhança de y=7.
  • Logo f é Lipschitz em y perto de 7 e o Teorema de Picard‐Lindelöf garante existência e unicidade de solução.
  • A solução explícita é, separando variáveis,
\int y^{-2/3}\,dy=\int dx\;\Longrightarrow\;3\,y^{1/3}=x+C\;\Longrightarrow\;y=\Bigl(\tfrac{x+C}{3}\Bigr)^{3}.
Impondo y(1)=7 obtém-se C=3\sqrt[\,3]{7}-1. Essa expressão vale para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

Para a condição y(0)=0: não há garantia de solução única.
Para a condição y(1)=7: existe única solução, definida em todo o eixo real, isto é, no maior intervalo aberto I=(-\infty,\infty) que contém x=1.

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